Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - ax + b}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 5 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục tại $x = 2$. Tính $a + 2b$.

Lời giải Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - ax + b}{x - 2} = 5 $$ Vì mẫu số có giới hạn $\lim_{x \to 2} (x - 2) = 0$, để tồn tại giới hạn hữu hạn bằng $5$ thì tử số bắt buộc phải nhận $x = 2$ làm nghiệm: $$ 2^{2} - a \cdot 2 + b = 0 \Leftrightarrow b = 2a - 4 $$ Thế ngược $b = 2a - 4$ vào giới hạn để phân tích biểu thức: $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - ax + 2a - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2) - a(x - 2)}{x - 2} $$ $$ = \lim_{x \to 2} (x + 2 - a) = 4 - a $$ Theo giả thiết, giá trị giới hạn này bằng $5$: $$ 4 - a = 5 \Leftrightarrow a = -1 $$ Từ đó tìm được $b = 2(-1) - 4 = -6$. Tính giá trị biểu thức cần tìm: $$ a + 2b = -1 + 2(-6) = -13 $$ Vậy giá trị là $-13$.