Tìm giá trị của tham số $ m $ để hàm số $ f(x)=\begin{cases} \dfrac { x ^ { 2 } -16 } { x-4 } & \text{khi } x>4 \\ mx+2024 & \text{khi } x≤4 \end{cases} $ liên tục trên $ \mathbb{R} $.

Xét $ x∈(4;+∞) $ thì $ f(x)=\frac { x ^ { 2 } -16 } { x-4 } $ là hàm phân thức nên hàm số liên tục. Xét $ x∈(-∞;4) $ thì $ f(x)=mx+2024 $ là hàm đa thức nên hàm số liên tục. Xét $ x=4 $. Ta có: $ \lim\limits_{ x→4 ^ { + } } f(x)=\lim\limits_{ x→4 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } -16 } { x-4 }=\lim\limits_{ x→4 ^ { + } } (x+4)=8 $ và $ \lim\limits_{ x→4 ^ { - } } f(x)=\lim\limits_{ x→4 ^ { - } } (mx+2024)=4m+2024;f(4)=4m+2024 $. Hàm số $ f(x) $ liên tục tại điểm $ x=4 $ khi và chỉ khi $ \lim\limits_{ x→4 } f(x)=f(4)⇔4m+2024=8⇔m=-504. $