Khi hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ 3m + 1 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ hãy tính giá trị biểu thức $P = 9m^{2} + 6m - 2$.

Lời giải Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Xét tại điểm $x = 1$, ta có: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 2) = 3 $$ $$f(1) = 3m + 1$$ Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi nó liên tục tại $x = 1$, tức là: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 3 = 3m + 1 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3} $$ Thay $m = \frac{2}{3}$ vào biểu thức $P$: $$ P = 9 \cdot \Big(\frac{2}{3}\Big)^{2} + 6 \cdot \Big(\frac{2}{3}\Big) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6 $$ Vậy $P = 6$.