Người ta theo dõi lợi nhuận của một loại cổ phiếu hàng ngày và nhận thấy lợi nhuận tại thời điểm $ t∈\left[ 0;24 \right] $ tuân theo công thức $ P\left ( { t } \right )=at ^ { 2 } +bt+c $ với $ a,b,c $ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $ a+2b+5c=0 $ và $ a,b $ không đồng thời bằng $ 0 $.

a) Đúng, vì hàm lợi nhuận $ P\left ( { t } \right )=at ^ { 2 } +bt+c $ liên tục trên đoạn $ t∈\left[ 0;24 \right] $ nên đạt giá trị nhỏ nhất $ m $, đạt giá trị lớn nhất $ M $ và mọi giá trị trung gian giữa $ m $ và $ M $, khi đó tập hợp tất cả các giá trị của lợi nhuận trong ngày là đoạn $ \left[ m;M \right] $. b) Sai, vì phương trình $ P\left ( { t } \right )=0 $ có nhiều nhất 2 nghiệm. c) Đúng, vì $ P\left ( { t } \right )=at ^ { 2 } +bt+c $ là hàm số bậc nhất hoặc bậc hai liên tục trên $ \left[ 0;24 \right] $ nên nếu $ P\left ( { t_{ 0 } } \right )=0 $ thì luôn tồn tại $ t_{ 1 } ,t_{ 2 } ∈\left ( { 0;24 } \right ) $ và $ t_{ 0 } ∈\left ( { t_{ 1 } ;t_{ 2 } } \right ) $, khi đó $ P\left ( { t } \right )>0\,∀t∈\left ( { t_{ 1 } ;t_{ 2 } } \right )\setminus\left\{t_{ 0 }\right\} $ hoặc $ P\left ( { t } \right ) < 0\,∀t∈\left ( { t_{ 1 } ;t_{ 2 } } \right )\setminus\left\{t_{ 0 }\right\} $ hoặc $ P\left ( { t } \right )>0\,∀t∈\left ( { t_{ 1 } ;t_{ 0 } } \right ) $ hoặc $ P\left ( { t } \right )>0\,∀t∈\left ( { t_{ 0 } ;t_{ 2 } } \right ) $. d) Đúng, ta sẽ chứng minh phương trình $ P\left ( { t } \right )=0 $ có nghiệm trong khoảng $ \left ( { 0;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $. Ta có: $ a+2b+5c=0⇔a+2b=-5c $. $ P\left ( { 0 } \right )=c,P\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { c } { 4 } $. Suy ra $ P\left ( { 0 } \right ).P\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { c ^ { 2 } } { 4 } $. +) Nếu $ c=0⇒a+2b=0 $. Khi đó $ P\left ( { t } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=0∉\left ( { 0;\frac { 1 } { 2 } } \right ) \\ at+b=0\,\,\left ( { 1 } \right ) \end{array} \right. $ Xét phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $: +) Nếu $ a=0 $, từ điều kiện $ a+2b+5c=0 $, suy ra $ b=0 $, không thỏa mãn. +) Nếu $ a≠0 $, $ \left ( { 1 } \right )⇔t=-\frac { b } { a }=\frac { 1 } { 2 }∈\left ( { 0;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $. +) Nếu $ c≠0⇒P\left ( { 0 } \right ).P\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) < 0 $, hàm số $ P\left ( { t } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\frac { 1 } { 2 } \right] $ nên phương trình $ P\left ( { t } \right )=0 $ có nghiệm trong khoảng $ \left ( { 0;\frac { 1 } { 2 } } \right )⊂\left ( { 0;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $. Vậy phương trình $ P\left ( { t } \right )=0 $ luôn có nghiệm trong khoảng $ \left ( { 0;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $.