Trắc nghiệm · Câu 67
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[a; b]$. Xét các mệnh đề sau đây: I. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a; b)$. II. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a; b)$. III. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và tăng trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a; b)$. IV. Nếu phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trong khoảng $(a; b)$ thì hàm số $f(x)$ phải liên tục trên $(a; b)$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
2.
Lời giải
- Mệnh đề I: Sai, vì $f(a)f(b) > 0$ chỉ cho biết $f(x)$ cùng dấu tại $a$ và $b$, nhưng không đảm bảo $f(x)$ không bằng 0 trong $(a; b)$.
- Mệnh đề II: Đúng, theo nhận xét (Toán 11 – KNTT&CS tập 1, trang 122): nếu $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$, thì tồn tại ít nhất một $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.
- Mệnh đề III: Đúng, điều kiện $f(a)f(b) > 0$ nghĩa là $f(a)$ và $f(b)$ có cùng dấu.
+) Nếu $f(a) > 0$ và $f(b) > 0$, thì $\forall x \in [a; b]$ ta có: $0 < f(a) \le f(x) \le f(b)$ (do $f(x)$ tăng).
+) Nếu $f(a) < 0$ và $f(b) < 0$, thì $\forall x \in [a; b]$ ta có: $f(a) \le f(x) \le f(b) < 0$ (do $f(x)$ tăng).
- Mệnh đề IV: Sai, hàm $f(x)$ không nhất thiết phải liên tục. Một hàm không liên tục vẫn có thể có nghiệm. Ví dụ: hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1} \text{ khi } x \neq 1 \\ 5 \text{ khi } x = 1 \end{array} \right.$ không liên tục trên khoảng $(0; 3)$ nhưng có nghiệm $x = 2$.