Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{5 - x}{\sqrt{x + 4} - 3} & \text{khi } x > 5 \\ 1 - m\sqrt{x^{2} - 4x + 11} & \text{khi } x \leq 5 \end{cases} $ liên tục tại $x_{0} = 5$.

Lời giải Ta tính giới hạn bên phải tại $x = 5$ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp: $$ \lim_{x \to 5^{+}} f(x) = \lim_{x \to 5^{+}} \frac{5 - x}{\sqrt{x + 4} - 3} = \lim_{x \to 5^{+}} \frac{(5 - x)\Big(\sqrt{x + 4} + 3\Big)}{x + 4 - 9} $$ $$ = \lim_{x \to 5^{+}} \frac{-(x - 5)\Big(\sqrt{x + 4} + 3\Big)}{x - 5} = \lim_{x \to 5^{+}} \Big[-\Big(\sqrt{x + 4} + 3\Big)\Big] = -6 $$ Tính giới hạn bên trái và giá trị của hàm số tại $x = 5$: $$ \lim_{x \to 5^{-}} f(x) = \lim_{x \to 5^{-}} \Big(1 - m\sqrt{x^{2} - 4x + 11}\Big) = 1 - m\sqrt{25 - 20 + 11} = 1 - 4m $$ $$ f(5) = 1 - 4m $$ Để hàm số liên tục tại $x_{0} = 5$ thì: $$ \lim_{x \to 5^{+}} f(x) = \lim_{x \to 5^{-}} f(x) = f(5) \Leftrightarrow 1 - 4m = -6 \Leftrightarrow 4m = 7 \Leftrightarrow m = 1,75 $$ Vậy giá trị tham số cần tìm là $m = 1,75$.