Đúng/Sai · Câu 45
Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2 - 2025}{x - 45} & \text{khi } x \neq 45 \\ 2m + 4 & \text{khi } x = 45 \end{array} \right.$ ($m$ là tham số). Hãy cho biết tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
a) Sai. Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.
b) Đúng. Ta có:
$$
\lim_{x \to 45} \frac{x^2 - 2025}{x - 45} = \lim_{x \to 45} (x + 45) = 90
$$
c) Đúng. Ta có $f(20) = 65$ và:
$$
\lim_{x \to 20} \frac{x^2 - 2025}{x - 45} = \lim_{x \to 20} (x + 45) = 65 = f(20)
$$
nên $f(x)$ liên tục tại $x = 20$.
d) Sai. Với $x \neq 45$ thì hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 2025}{x - 45}$ xác định trên tập $(-\infty; 45) \cup (45; +\infty)$. Suy ra hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty; 45)$ và $(45; +\infty)$.
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 45$, tức là:
$$
\lim_{x \to 45} f(x) = f(45) \Leftrightarrow \lim_{x \to 45} \frac{x^2 - 2025}{x - 45} = 2m + 4
$$
$$
\Leftrightarrow \lim_{x \to 45} \frac{(x - 45)(x + 45)}{x - 45} = 2m + 4 \Leftrightarrow \lim_{x \to 45} (x + 45) = 2m + 4
$$
$$
\Leftrightarrow 90 = 2m + 4 \Leftrightarrow m = 43
$$
Suy ra với $m = 43$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.