Tại một nhà gửi xe, phí gửi xe ô tô con được tính $20$ nghìn đồng cho $1$ giờ đầu và $10$ nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo. Gọi $P(t)$ (tính theo chục nghìn đồng) là số tiền phí gửi xe ô tô con tại nhà gửi xe này trong $t$ giờ (với $0 < t \leq 4$). Trên nửa khoảng $(0; 4]$ hàm số có bao nhiêu điểm gián đoạn?

Lời giải Gọi thời gian gửi xe là $t$ (giờ). Theo quy định, giá cước bậc thang nhảy số ở mỗi mốc giờ nguyên. Hàm số $P(t)$ biểu diễn phí gửi xe trên nửa khoảng $(0; 4]$ cụ thể như sau: $$ P(t) = \begin{cases} 2 & \text{khi } 0 < t \leq 1 \\ 3 & \text{khi } 1 < t \leq 2 \\ 4 & \text{khi } 2 < t \leq 3 \\ 5 & \text{khi } 3 < t \leq 4 \end{cases} $$ Trên từng nửa khoảng hở $(0; 1], (1; 2], (2; 3], (3; 4]$, hàm số có dạng hằng số $P(t) = c$ nên liên tục. Xét tại điểm $t = 1$: $$ \lim_{t \to 1^{-}} P(t) = 2, \quad \lim_{t \to 1^{+}} P(t) = 3 $$ Do $\lim_{t \to 1^{-}} P(t) \neq \lim_{t \to 1^{+}} P(t)$ nên hàm số gián đoạn tại $t = 1$. Tương tự, tại các điểm mốc nguyên $t = 2$ và $t = 3$, giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau, do đó hàm số cũng gián đoạn tại $t = 2$ và $t = 3$. Vậy trên nửa khoảng $(0; 4]$, hàm số có tất cả $3$ điểm gián đoạn là $t = 1, t = 2, t = 3$.