Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 11
Chọn ngẫu nhiên $6$ số từ tập $M=\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;\ldots ;2018 \end{array} \right\}.$ Xác suất để chọn được $6$ số lập thành cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
* Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right)=C_{2018}^{6}$
* Gọi biến cố A: “6 số lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương”
* Gọi 6 số cần lập có dạng: $a;aq;aq^{2} ;aq^{3} ;aq^{4} ;aq^{5} \,\left( a,q\in \mathbb{N};\,q>1 \right)$
Ta có: $q^{5} \leq 2018\Rightarrow q\leq \sqrt[5]{2018}=4$
Với $q=2,$ ta có: $a.q^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 63\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;\ldots ;63 \end{array} \right\}$. Vậy có $63$ cách chọn bộ 6 số lập thành cấp số nhân
Với $q=3,$ ta có: $a.3^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 8\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right\}$. Có $8$ cách chọn
Với $q=4,$ ta có: $a.4^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 1,9$. Chọn $a=1$. Vậy có $1$ cách chọn bộ $6$ số
Vậy $n\left( A \right)=1+8+63=72$
* $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{72}{C_{2018}^{6} }$.
* Gọi biến cố A: “6 số lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương”
* Gọi 6 số cần lập có dạng: $a;aq;aq^{2} ;aq^{3} ;aq^{4} ;aq^{5} \,\left( a,q\in \mathbb{N};\,q>1 \right)$
Ta có: $q^{5} \leq 2018\Rightarrow q\leq \sqrt[5]{2018}=4$
Với $q=2,$ ta có: $a.q^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 63\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;\ldots ;63 \end{array} \right\}$. Vậy có $63$ cách chọn bộ 6 số lập thành cấp số nhân
Với $q=3,$ ta có: $a.3^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 8\Rightarrow a\in \left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right\}$. Có $8$ cách chọn
Với $q=4,$ ta có: $a.4^{5} \leq 2018\Rightarrow a\leq 1,9$. Chọn $a=1$. Vậy có $1$ cách chọn bộ $6$ số
Vậy $n\left( A \right)=1+8+63=72$
* $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{72}{C_{2018}^{6} }$.