Bài tập nâng cao · Bài 2
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 2
Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập $S$. Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số lẻ sao cho số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần lập là $abcdefg$.
Không gian mẫu : Tập hợp số có $7$ chữ số đôi một khác nhau.
Vì $a\neq 0$ nên có $9$ cách chọn $a$.
$bcdefg$ không có chữ số $a$ nên có $9.8.7.6.5.4$ cách chọn.
Vậy $n\left( \Omega \right)=9.9.8.7.6.5.4=544320$.
Biến cố $A$: Số được chọn có đúng $3$ chữ số lẻ sao cho số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
Số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số $0$ không thể đứng ở $a$ hoặc $g$.
Suy ra có $5$ cách sắp xếp chữ số $0$.
Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số $0$(có sắp xếp) có $A_{5}^{2}$ cách chọn.
Tiếp tục chọn một số lẻ khác và sắp xếp vào $1$ trong $4$ vị trí còn lại có $C_{3}^{1}\times A_{4}^{1}=12$ cách chọn.
Còn lại $3$ vị trí, chọn từ $3$ số chẵn $\left\{ \begin{array}{l} 2;4;6;8 \end{array} \right\}$ có $24$ cách chọn.
Vậy $n\left( A \right)=5\times A_{5}^{2}\times12\times24=28800$ cách chọn.
Xác suất để xảy ra biến cố $A$ là $p\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{28800}{544320}=\frac{10}{189}$.
Không gian mẫu : Tập hợp số có $7$ chữ số đôi một khác nhau.
Vì $a\neq 0$ nên có $9$ cách chọn $a$.
$bcdefg$ không có chữ số $a$ nên có $9.8.7.6.5.4$ cách chọn.
Vậy $n\left( \Omega \right)=9.9.8.7.6.5.4=544320$.
Biến cố $A$: Số được chọn có đúng $3$ chữ số lẻ sao cho số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
Số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số $0$ không thể đứng ở $a$ hoặc $g$.
Suy ra có $5$ cách sắp xếp chữ số $0$.
Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số $0$(có sắp xếp) có $A_{5}^{2}$ cách chọn.
Tiếp tục chọn một số lẻ khác và sắp xếp vào $1$ trong $4$ vị trí còn lại có $C_{3}^{1}\times A_{4}^{1}=12$ cách chọn.
Còn lại $3$ vị trí, chọn từ $3$ số chẵn $\left\{ \begin{array}{l} 2;4;6;8 \end{array} \right\}$ có $24$ cách chọn.
Vậy $n\left( A \right)=5\times A_{5}^{2}\times12\times24=28800$ cách chọn.
Xác suất để xảy ra biến cố $A$ là $p\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{28800}{544320}=\frac{10}{189}$.