Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn $\sin (x+T)=\sin x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ phải có dạng $T=k2\pi$, k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn $\sin (x+T)=\sin x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ là $2\pi$.

Question

DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T
eq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$. *y = sin(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = cos(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = tan(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ *y = cot(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ $\bullet$ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số $y\,\,=\,\,f_{1}(x)\,\,\pm \,\,f_{2}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn $\sin (x+T)=\sin x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ phải có dạng $T=k2\pi$, k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn $\sin (x+T)=\sin x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ là $2\pi$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Nếu $\sin \left( x+T \right)=\sin x$ với mọi $x$, thì khi $x=\frac{\pi}{2}$, ta được $\sin \left( \frac{\pi}{2}+T \right)=1$. Số U mà $\sin U=1$ thì $U$ phải có dạng $U=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ nên $\frac{\pi}{2}+T=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Rightarrow T=k2\pi$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 6