Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số.
a) $y=\sin^{2}2x+1$
b) $y=\cos^{2}x-\sin^{2}x$
c) $y=\cos^{2}x+\sin^{2}x$

Question

DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T
eq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$. *y = sin(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = cos(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = tan(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ *y = cot(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ $\bullet$ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số $y\,\,=\,\,f_{1}(x)\,\,\pm \,\,f_{2}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số. a) $y=\sin^{2}2x+1$ b) $y=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ c) $y=\cos^{2}x+\sin^{2}x$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $y=\sin^{2}2x+1=\frac{1-\cos 4x}{2}+1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x$ Hàm số $y$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi}{2}$. Đây là hàm số chẵn. b) $y=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x$ là một hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì $T=\pi$. c) $y=\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ với mọi $x$ nên $y$ là một hàm hằng, là một hàm số chẵn. Vì với mọi $T$, ta luôn có $\cos^{2}\left( x+T \right)+\sin^{2}\left( x+T \right)=\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ nên hàm số $y$ tuần hoàn nhưng không có chu kì tuần hoàn.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 7