Bài tập nâng cao · Bài 8
DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\neq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$. *y = sin(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a \right|}$ *y = cos(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a \right|}$ *y = tan(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a \right|}$ *y = cot(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a \right|}$ $\bullet$ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số $y\,\,=\,\,f_{1}(x)\,\,\pm \,\,f_{2}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 8
Xem lời giải
Lời giải
+ Hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ là hàm số tuần hoàn vì $\exists T=2\pi$ thỏa mãn: $y_{\left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin \left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin x}=y_{\left( x \right)} \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
+$T=2\pi$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn $y_{\left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin \left( x+2\pi \right)}=\frac{1}{\sin x}=y_{\left( x \right)} \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
Thật vậy: Giả sử nếu $\exists T\in \left( 0;2\pi \right):\frac{1}{\sin \left( x+T \right)}=\frac{1}{\sin x} \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \left( \frac{\pi}{2}+T \right)}=\frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}}\Leftrightarrow \cos T=1\Leftrightarrow T=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Vì $T\in \left( 0;2\pi \right)$ $\Rightarrow$ Không tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn $T=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Rightarrow$ Điều giả sử là sai.
Vậy hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ là hàm số tuần hoàn và có chu kì $T=2\pi$