Bài tự luận Hai mặt phẳng song song · Bài 36

a) Ta có $DD'\parallel BB'$ và $DD'=BB'$ ($ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp), suy ra $DD'B'B$ là hình bình hành, suy ra $BD\parallel B'D'$ mà $B'D'\subset\left( B'D'C \right)$, suy ra $BD\parallel\left( B'D'C \right)$. (1)
Chứng minh tương tự ta có $DA'\parallel B'C$, mà $B'C\subset\left( B'D'C \right)$, suy ra $DA'\parallel\left( B'D'C \right)$.(2)
Mặt khác, ta có $BD\cap DA'=D$ và $BD,DA'\subset\left( BDA' \right)$. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\left( BDA' \right)\parallel\left( B'D'C \right)$.

b) Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A'B'C'D'$. Trong hình bình hành $AA'C'C$ gọi $I$ là giao điểm của $AC'$ và $A'C$; cắt $A'O,CO'$ lần lượt tại $G$ và $G'$.
Trong tam giác $AA'C$, ta có $G$ là giao điểm của hai trung tuyến $AI$ và $A'O$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $AA'C$, suy ra $G$ cũng là trọng tâm tam giác $A'BD$, tương tự $G'$ là trọng tâm tam giác $B'D'C$.
Vậy $AC'$ đi qua trọng tâm của hai tam giác $BDA'$ và $B'D'C$.
c) Ta có $AG=\frac{2}{3}AI=\frac{1}{3}AC';C'G'=\frac{2}{3}C'I=\frac{1}{3}AC'$, suy ra $G$ và $G'$ chia đoạn $AC'$ thành ba phần bằng nhau.