Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 1
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số $y=\frac{x-2}{mx^2-2x+4}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
Xem lời giải
Lời giải
Với $m=0$; ta có hàm số $y=\frac{x-2}{-2x+4}=-\frac12\Rightarrow$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\neq0$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{mx^2-2x+4}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận $\Leftrightarrow$ đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow mx^2-2x+4=0$ có nghiệm duy nhất hoặc $mx^2-2x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=2$.
$mx^2-2x+4=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow1-4m=0\Leftrightarrow m=\frac14$.
$mx^2-2x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=2$ $\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0,\\4m=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m<\frac14,\\m=0\end{cases}\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn điều kiện.
Vậy chỉ có một giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\neq0$, ta có: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{mx^2-2x+4}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận $\Leftrightarrow$ đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow mx^2-2x+4=0$ có nghiệm duy nhất hoặc $mx^2-2x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=2$.
$mx^2-2x+4=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow1-4m=0\Leftrightarrow m=\frac14$.
$mx^2-2x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=2$ $\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0,\\4m=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m<\frac14,\\m=0\end{cases}\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn điều kiện.
Vậy chỉ có một giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.