Bài tự luận · Bài 1
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 1
Cho hình lập phương $ ABCD.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có $ AB=a $.
a) Chứng minh rằng $ C ^ { ′ } D\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ),BD ^ { ′ } \perp C ^ { ′ } D $ và $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right )\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng $ BD $ và $ A'D' $.
c) Tính góc giữa đường thẳng $ BD $ và mặt phẳng $ \left ( { CDD ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $.
d) Tính số đo của góc nhị diện $ \left[ B,DD ^ { ′ } ,C \right] $.
e) Tính khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
g) Chứng minh $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } \parallel\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $ và tính khoảng cách giữa đường thẳng $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ và mặt phẳng $ \left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
h) Tính thể tích của khối tứ diện $ C ^ { ′ } BCD $ và khoảng cách từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right ) $.
a) Chứng minh rằng $ C ^ { ′ } D\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ),BD ^ { ′ } \perp C ^ { ′ } D $ và $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right )\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng $ BD $ và $ A'D' $.
c) Tính góc giữa đường thẳng $ BD $ và mặt phẳng $ \left ( { CDD ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $.
d) Tính số đo của góc nhị diện $ \left[ B,DD ^ { ′ } ,C \right] $.
e) Tính khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
g) Chứng minh $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } \parallel\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $ và tính khoảng cách giữa đường thẳng $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ và mặt phẳng $ \left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
h) Tính thể tích của khối tứ diện $ C ^ { ′ } BCD $ và khoảng cách từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ BC\perp\left ( { CDD ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ nên $ BC\perp C ^ { ′ } D $. Mà $ C ^ { ′ } D\perp CD ^ { ′ } $ nên $ C ^ { ′ } D\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
Suy ra $ C ^ { ′ } D\perp BD ^ { ′ } $ và $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right )\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
b) Ta có: $ \left ( { BD,A ^ { ′ } D ^ { ′ } } \right )=(BD,AD)= \widehat { BDA }=45 ^ { ° } $.
c) Góc giữa đường thẳng $ BD $ và mặt phẳng $ \left ( { CDD ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ bằng $ (BD,CD)= \widehat { BDC }=45 ^ { ° } $.
d) Vì $ DD ^ { ′ } \perp(BCD) $ nên $ DD ^ { ′ } \perp BD,DD ^ { ′ } \perp CD $.
Suy ra số đo của góc nhị diện $ \left[ B,DD ^ { ′ } ,C \right] $ bằng $ (BD,CD)=45 ^ { ° } $.
e) Gọi $ O $ là giao điểm của $ C ^ { ′ } D $ và $ CD ^ { ′ } $. Vì $ DO\perp BC,DO\perp CD ^ { ′ } $ nên $ DO\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
Vậy $ d\left ( { D,\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) } \right )=DO=\frac { a\sqrt { 2 } } { 2 }. $
g) Vì $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } \parallel BC $ nên $ B ^ { ′ } C ^ { ′ } \parallel\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $.
Khi đó, $ d\left ( { B ^ { ′ } C ^ { ′ } ,\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) } \right )=d\left ( { C ^ { ′ } ,\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) } \right ) $. Vì $ C ^ { ′ } O\perp\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) $ nên $ d\left ( { B ^ { ′ } C ^ { ′ } ,\left ( { BCD ^ { ′ } } \right ) } \right )=C ^ { ′ } O=\frac { a\sqrt { 2 } } { 2 } $.
h) Thể tích khối tứ diện $ C ^ { ′ } BCD $ bằng
$ V_{ C ^ { ′ } BCD } =\frac { 1 } { 3 }\cdot CC ^ { ′ } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 }BC\cdot CD } \right )=\frac { 1 } { 3 }\cdot a\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 }\cdot a\cdot a } \right )=\frac { a ^ { 3 } } { 6 }. $
Diện tích tam giác đều $ BC ^ { ′ } D $ cạnh $ a\sqrt { 2 } $ bằng: $ S_{ BC ^ { ′ } D } =\frac { (a\sqrt { 2 }) ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 2 } $.
Xét khối tứ diện $ C ^ { ′ } BCD $ có $ C $ là đỉnh, $ BC ^ { ′ } D $ là đáy thì khoảng cách từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { BC ^ { ′ } D } \right ) $ bằng: $ d\left ( { C,\left ( { BC ^ { ′ } D } \right ) } \right )=\frac { 3V_{ C ^ { ′ } BCD } } { S_{ BC ^ { ′ } D } }=\frac { 3\cdot \frac { a ^ { 3 } } { 6 } } { \frac { a ^ { 2 } \sqrt { 3 } } { 2 } }=\frac { a\sqrt { 3 } } { 3 }. $