Bài tập nâng cao · Bài 33

DẠNG 3. THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác phẳng thu được khi cắt một khối chóp bằng một mặt phẳng. (Các cạnh của đa giác thu được là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp). Phương pháp: Tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng $\left( P \right)$: Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của $\left( P \right)$ với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của $\left( P \right)$ với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Chú ý: + Thiết diện của một khối chóp là một đa giác bao quanh viền ngoài khối chóp, không có đường thẳng nào đâm xuyên bên trong khối chóp đó. + Có thể tìm thiết diện bằng phương pháp dựng giao điểm.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng song song · Bài 33

Xem lời giải

Lời giải

Xét hai mặt phẳng

và

Ta có

.
Mặt khác

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là đường thẳng

qua

song song với

cắt

tại

. Khi đó

là trung điểm của

.
Xét hai mặt phẳng

và

Ta có

.
Mặt khác

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là đường thẳng

qua

song song với

cắt

tại

. Khi đó

là trung điểm của

.
Do đó thiết diện của mặt phẳng

và hình chóp

là hình thang

.
Vì

,

nên

do đó hình thang

là hình thang cân.

,

.
Chiều cao của hình thang cân là $h=\sqrt{MP^{2}-\left( \frac{MN-PQ}{2} \right)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}\left( MN+PQ \right).h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.