Bài tự luận · Bài 34
Dạng 3. Tính số tổ hợp
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 34
(CTST10) Trong một lô 100 sản phẩm, có 97 chính phẩm (sản phẩm đạt tiêu chuẩn) và 3 thứ phẩm (sản phẩm không đạt tiêu chuẩn). Từ 100 sản phẩm này, có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm mà
a) 3 sản phẩm được lấy bất kì?
b) trong đó có 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm?
c) trong đó có ít nhất một thứ phẩm?
a) 3 sản phẩm được lấy bất kì?
b) trong đó có 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm?
c) trong đó có ít nhất một thứ phẩm?
Xem lời giải
Lời giải
a) Mỗi cách lấy 3 sản phẩm từ 100 sản phẩm là một tổ hợp chập 3 của 100 sản phẩm. Do đó, số cách lấy 3 sản phẩm bất kì là $C_{100}^{3}=161700$ (cách).
b) Có $C_{97}^{2}$ cách lấy 2 chính phẩm từ 97 chính phẩm. Có $C_3^{1}$ cách lấy 1 thứ phẩm từ 3 thứ phẩm. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm là $C_{97}^{2}C_3^{1}=4656\cdot 3=13968$ (cách).
c) Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^{2}C_3^{1}=4656\cdot 3=13968$ cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^{1}C_3^{2}=97\cdot 3=291$ cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_3^{3}=1$ cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là $13968+291+1=14260$ (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là $C_{97}^{3}$. Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là $C_{100}^{3}-C_{97}^{3}=161700-147440=14260$ (cách).
b) Có $C_{97}^{2}$ cách lấy 2 chính phẩm từ 97 chính phẩm. Có $C_3^{1}$ cách lấy 1 thứ phẩm từ 3 thứ phẩm. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm là $C_{97}^{2}C_3^{1}=4656\cdot 3=13968$ (cách).
c) Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^{2}C_3^{1}=4656\cdot 3=13968$ cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^{1}C_3^{2}=97\cdot 3=291$ cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_3^{3}=1$ cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là $13968+291+1=14260$ (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là $C_{97}^{3}$. Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là $C_{100}^{3}-C_{97}^{3}=161700-147440=14260$ (cách).