Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 3

a) Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ với $C$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $OACB$ dựng trên hai cạnh $OA,OB$.

Do tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$, nên $OACB$ là hình vuông. Khi đó
$\|\overrightarrow{OC}\|=OC=\sqrt{OA^2+OB^2}=a\sqrt{2}$.
b) Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$.
Từ đó, do tam giác OAB vuông cân tại $O$, nên
$\|\overrightarrow{BA}\|=AB=a\sqrt{2}$.
c) Lấy điểm $D$ đối xứng với $O$ qua $B$.

Khi đó $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$. Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ với $E$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $OAED$ dựng trên hai cạnh $OA$, $OD$. Do tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $OAED$ là hình chữ nhật, với $OA=a,OD=2a$.
Suy ra $\|\overrightarrow{OE}\|=OE=\sqrt{OA^2+OD^2}=a\sqrt{5}$.
d) Lấy $F$ đối xứng $B$ qua $D$ và lấy $G$ đối xứng với $O$ qua $A$. Khi đó $\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OF}=3\overrightarrow{OB}$.

Suy ra $2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{FG}$. (1)
Do cách dựng các điểm $F$, $G$, tam giác $OFG$ vuông tại $O,OG=2OA=2a$, $OF=3OB=3a$.
Từ đó và (1) suy ra $\|2\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\|=\|\overrightarrow{FG}\|=FG=\sqrt{OF^2+OG^2}=a\sqrt{13}$.