Đúng/Sai · Câu 4
Cho mệnh đề $P$: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^4 - x + 1 > 0$". Các khẳng định sau đúng hay sai?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
Xét từng phát biểu:
- Phát biểu a) Đúng. Kí hiệu $\forall$ dịch là "tất cả" hoặc "với mọi", bất đẳng thức $> 0$ dịch là "dương".
- Phát biểu b) Sai. Khi phủ định mệnh đề chứa lượng từ $\forall$, ta phải đổi lượng từ thành $\exists$.
- Phát biểu c) Đúng. Phủ định của lượng từ $\forall$ là $\exists$, và phủ định của dấu lớn hơn ($>$) là dấu bé hơn hoặc bằng ($\le$). Do đó, $\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^4 - x + 1 \le 0"$.
- Phát biểu d) Đúng. Ta chứng minh được biến đổi đại số sau:
$x^4 - x + 1 = \left(x^4 - x^2 + \frac{1}{4}\right) + \left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$
Vì $\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ và $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên biểu thức trên cộng thêm $\frac{1}{2}$ luôn luôn lớn hơn $0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.