Bài tập nâng cao · Bài 49
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 49
Có 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách lý và 9 cuốn sách Hóa. Các sách cùng môn giống nhau. Chia hết ngẫu nhiên cho 12 học sinh, mỗi học 2 cuốn khác môn. Trong 12 học sinh đó có 3 bạn là A, B, C. Tính xác suất để A, B, C nhận được sách các môn giống nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi x,y,z lần lượt là số học sinh nhận các bộ sách (mỗi bộ 2 cuốn khác môn được lấy từ 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách lý và 9 cuốn sách hóa) lần lượt là các bộ: T+L, T+H, L+H.
Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=12 \\ x+y=7 \\ x+z=8 \\ y+z=9 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{array} \right.$
Xác định số phần tử không gian mẫu:
Chọn 3 hs trong 12 hs nhận 3 bộ sách T+L, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } } }^{{ \rm{ 3} } }$
Chọn 4 hs trong 9 hs nhận 4 bộ sách T+H, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }$
Chọn 5 hs trong 5 hs nhận 5 bộ sách L+H, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }$
${ \rm{ n } }\left( Ω \right){ \rm{ = } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }$
Biến cố E chia để ba người A, B, C nhận được sách các môn giống nhau:
TH1: A,B,C cùng nhận được sách T+L số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 3 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }=126$
TH2: A,B,C cùng nhận được sách T+H số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 3 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 1} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 8 } } }^{{ \rm{ 3} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }=504$
TH3: A,B,C cùng nhận được sách H+L số cách là: $C_{9}^{3}C_{6}^{4}=1260$
$\Rightarrow n(E)=126+504+1260=1890$
$P(E)=\frac{1890}{C_{12}^{3}C_{9}^{4}C_{5}^{5}}=\frac{3}{44}$.
Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=12 \\ x+y=7 \\ x+z=8 \\ y+z=9 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{array} \right.$
Xác định số phần tử không gian mẫu:
Chọn 3 hs trong 12 hs nhận 3 bộ sách T+L, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } } }^{{ \rm{ 3} } }$
Chọn 4 hs trong 9 hs nhận 4 bộ sách T+H, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }$
Chọn 5 hs trong 5 hs nhận 5 bộ sách L+H, số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }$
${ \rm{ n } }\left( Ω \right){ \rm{ = } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }$
Biến cố E chia để ba người A, B, C nhận được sách các môn giống nhau:
TH1: A,B,C cùng nhận được sách T+L số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 3 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 4} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }=126$
TH2: A,B,C cùng nhận được sách T+H số cách là: ${ \rm{ C } }_{ { \rm{ 3 } } }^{{ \rm{ 3} } }.{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 9 } } }^{{ \rm{ 1} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 8 } } }^{{ \rm{ 3} } }{ \rm{ . } }{ \rm{ C } }_{ { \rm{ 5 } } }^{{ \rm{ 5} } }=504$
TH3: A,B,C cùng nhận được sách H+L số cách là: $C_{9}^{3}C_{6}^{4}=1260$
$\Rightarrow n(E)=126+504+1260=1890$
$P(E)=\frac{1890}{C_{12}^{3}C_{9}^{4}C_{5}^{5}}=\frac{3}{44}$.