(Cụm trường Hải Dương 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $, cho đường thẳng $ d:\frac { x+2 } { 1 }=\frac { y-2 } { 1 }=\frac { z } { -1 } $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x+2y-3z+4=0 $.

a) Sai. Từ phương trình $ \left ( { P } \right ):x+2y-3z+4=0 $ ta có một vecto pháp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $ là $ \overset\rightarrow { v }\left ( { 1;2;-3 } \right ) $. Do $ \frac { 1 } { 1 }\neq \frac { 1 } { 2 }\neq \frac { -1 } { -3 } $ nên $ \overset\rightarrow { n }\left ( { 1;1;-1 } \right ) $ khônglà một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Vậy b) Đúng. Thay tọa độ điểm $ A(-2;2;0) $ vào phương trình $ d:\frac { x+2 } { 1 }=\frac { y-2 } { 1 }=\frac { z } { -1 } $ ta thấy thỏa mãn nên A thuộc d c) Sai. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ được tính bằng: $ \sin(d,P)=\frac { \left | { 1.1+1.2+(-1).(-3) } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 6 } { \sqrt[] { 3.14 } }⇒\left ( { d,P } \right )≈67,8 ^ { o } $ d) Sai. Đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $ nằm trong mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $, vuông góc đường thẳng $ d $ nên một vectơ chỉ phương của $ \left ( { Δ } \right ) $ chính là tích có hướng giữa vecto pháp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $là $ \overset\rightarrow { v }\left ( { 1;2;-3 } \right ) $ và vecto chỉ phương của d là $ \overset\rightarrow { u }\left ( { 1;1;-1 } \right ) $. Ta tính được $ \overset\rightarrow { q }=\left[ \overset\rightarrow { v };\overset\rightarrow { u } \right]=\left ( { 1;-2;-1 } \right ) $. Do đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $ nằm trong mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $và cắt đường thẳng $ d $ nên giao điểm đó chính là giao điểm của mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ cắt đường thẳng $ d $. Gọi giao điểm cần tìm là M. Tọa độ giao điểm có dạng $ M\left ( { -2+t;2+t;-t } \right ) $. Do M thuộc $ \left ( { P } \right ) $ nên ta có $ \left ( { -2+t } \right )+2\left ( { 2+t } \right )-3\left ( { -t } \right )+4=0⇒t=-1⇒M\left ( { -3;1;1 } \right ) $. Vậy khoảng cách từ gốc O tới $ \left ( { Δ } \right ) $ là: $ d\left ( { O;Δ } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { OM };\overset\rightarrow { q } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { q } } \right | }=\frac { \sqrt[] { 54 } } { \sqrt[] { 6 } }=3 $