Cho tập hợp $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số đôi một khác nhau?

Gọi số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d \in A$ và $a \neq 0$. Vì số lập được là số chẵn nên chữ số tận cùng $d \in \{0; 2; 4; 6; 8\}$. Do vị trí của số $0$ ảnh hưởng đến việc chọn chữ số đầu tiên $a$, ta chia bài toán thành hai trường hợp độc lập: - Trường hợp 1: $d = 0$ (có 1 cách chọn). Chọn chữ số $a \in A \setminus \{0\}$ nên có $8$ cách chọn. Chọn chữ số $b \in A \setminus \{0; a\}$ nên có $7$ cách chọn. Chọn chữ số $c \in A \setminus \{0; a; b\}$ nên có $6$ cách chọn. Theo quy tắc nhân, số lượng số được lập ra trong trường hợp này là: $1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ số. - Trường hợp 2: $d \neq 0 \Rightarrow d \in \{2; 4; 6; 8\}$ (có $4$ cách chọn). Chữ số $a$ phải khác $0$ và khác $d$, suy ra $a$ có $9 - 2 = 7$ cách chọn. Chữ số $b$ phải khác $a$ và $d$ (nhưng có thể nhận giá trị bằng $0$), suy ra $b$ có $9 - 2 = 7$ cách chọn. Chữ số $c$ phải khác $a, b, d$, suy ra $c$ có $9 - 3 = 6$ cách chọn. Theo quy tắc nhân, số lượng số được lập ra trong trường hợp này là: $4 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 6 = 1176$ số. Vậy tổng số các số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập được là: $336 + 1176 = 1512$ số.