Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 4. Biến đổi tổng thành tích
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 13
Tính $\sin^{2}2x$, biết: $\frac{1}{\tan^{2}x}+\frac{1}{\cot^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=7$
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} \sin x\neq 0 \\ \cos x\neq 0 \\ \tan x\neq 0 \\ \cot x\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x\neq 0 \\ \cos x\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \sin2x\neq 0$
Ta có:
$\frac{1}{\tan^{2}x}+\frac{1}{\cot^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=7\Leftrightarrow \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=7$
$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{\cos^{4}x+\sin^{4}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}=7\Leftrightarrow \cos^{4}x+\sin^{4}x+1=7\sin^{2}x.\cos^{2}x \\ \Leftrightarrow \cos^{4}x+\sin^{4}x+2\sin^{2}x.\cos^{2}x+1=9\sin^{2}x.\cos^{2}x \\ \Leftrightarrow (\cos^{2}x+\sin^{2}x)^{2}+1=\frac{9}{4}(2\sin x.\cos x)^{2}\Leftrightarrow 1+1=\frac{9}{4}\sin^{2}2x \\ \Leftrightarrow \sin^{2}2x=\frac{8}{9}\end{array}$
Giá trị tính được thỏa mãn điều kiện $\sin2x\neq 0$
Vậy $\sin^{2}2x=\frac{8}{9}$
Ta có:
$\frac{1}{\tan^{2}x}+\frac{1}{\cot^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=7\Leftrightarrow \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=7$
$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{\cos^{4}x+\sin^{4}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}=7\Leftrightarrow \cos^{4}x+\sin^{4}x+1=7\sin^{2}x.\cos^{2}x \\ \Leftrightarrow \cos^{4}x+\sin^{4}x+2\sin^{2}x.\cos^{2}x+1=9\sin^{2}x.\cos^{2}x \\ \Leftrightarrow (\cos^{2}x+\sin^{2}x)^{2}+1=\frac{9}{4}(2\sin x.\cos x)^{2}\Leftrightarrow 1+1=\frac{9}{4}\sin^{2}2x \\ \Leftrightarrow \sin^{2}2x=\frac{8}{9}\end{array}$
Giá trị tính được thỏa mãn điều kiện $\sin2x\neq 0$
Vậy $\sin^{2}2x=\frac{8}{9}$