Bài tập nâng cao · Bài 12
Dạng 4. Biến đổi tổng thành tích
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 12
Tính các tổng sau
a. $S_1=\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha+\ldots+\cos\left( 2n-1 \right)\alpha\ \left( \alpha\neq k\pi \right)$
b. $S_2=\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\sin\frac{3\pi}{n}+\ldots+\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{n}$
c. $S_3=\cos\frac{\pi}{n}+\cos\frac{3\pi}{n}+\cos\frac{5\pi}{n}+\ldots+\cos\frac{\left( 2n-1 \right)\pi}{n}$
d. $S_4=\frac{1}{\cos a.\cos2a}+\frac{1}{\cos2a.\cos3a}+\ldots+\frac{1}{\cos4a.\cos5a}$, với $a=\frac{\pi}{5}$.
e. $S_5=\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos2x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos4x} \right)\ldots\left( 1+\frac{1}{\cos2^{n-1}x} \right)$
a. $S_1=\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha+\ldots+\cos\left( 2n-1 \right)\alpha\ \left( \alpha\neq k\pi \right)$
b. $S_2=\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\sin\frac{3\pi}{n}+\ldots+\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{n}$
c. $S_3=\cos\frac{\pi}{n}+\cos\frac{3\pi}{n}+\cos\frac{5\pi}{n}+\ldots+\cos\frac{\left( 2n-1 \right)\pi}{n}$
d. $S_4=\frac{1}{\cos a.\cos2a}+\frac{1}{\cos2a.\cos3a}+\ldots+\frac{1}{\cos4a.\cos5a}$, với $a=\frac{\pi}{5}$.
e. $S_5=\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos2x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos4x} \right)\ldots\left( 1+\frac{1}{\cos2^{n-1}x} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
a. $S_1=\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha+\ldots+\cos\left( 2n-1 \right)\alpha\ \left( \alpha\neq k\pi \right)$
Nhân cả hai vế với $2\sin\alpha$ ta có:
$2\sin\alpha.S_1=2\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin\alpha.\cos3\alpha+2\sin\alpha.\cos5\alpha+\ldots+2\sin\alpha.\cos\left( 2n-1 \right)\alpha$
$\Rightarrow 2\sin\alpha.S_1=\sin2\alpha+\left( \sin4\alpha-\sin2\alpha \right)+\left( \sin6\alpha-\sin4\alpha \right)+\ldots+\left[ \sin2n\alpha-\sin\left( 2n-2 \right)\alpha \right]$
$\Rightarrow 2\sin\alpha.S_1=\sin2n\alpha$
$\Rightarrow S_1=\frac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha}$
Vậy $S_1=\frac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha}$.
b. Xét bài toán tổng quát. Tính tổng $S_2=\sin x+\sin2x+\sin3x+\ldots+\sin\left( n-1 \right)x$.
Nhân cả hai vế với $2\sin\frac{x}{2}$ ta có:
$2\sin\frac{x}{2}.S_2=2\sin\frac{x}{2}.\sin x+2\sin\frac{x}{2}.\sin2x+2\sin\frac{x}{2}.\sin3x+\ldots+2\sin\frac{x}{2}.\sin\left( n-1 \right)x$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=\left( \cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2} \right)+\left( \cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2} \right)+\left( \cos\frac{5x}{2}-\cos\frac{7x}{2} \right)+\ldots+\left[ \cos\left( \frac{2n-3}{2} \right)x-\cos\left( \frac{2n-1}{2} \right)x \right]$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=\cos\frac{x}{2}-\cos\left( \frac{2n-1}{2} \right)x$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=2\sin\frac{\left( n-1 \right)x}{2}.\sin\frac{nx}{2}$
$\Rightarrow S_2=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)x}{2}.\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$
Áp dụng với $x=\frac{\pi}{n}$ ta được: $S_2=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{2n}.\sin\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}$
c. Áp dụng câu a với $\alpha=\frac{\pi}{n}$ ta được: $S_3=\frac{\sin\left( 2n\pi \right)}{2\sin\frac{\pi}{n}}=0$.
d. Ta có : $S=\frac{1}{\sin a}\left[ \frac{\sin\left( 2a-a \right)}{\cos2a.\cos a}+\frac{\sin\left( 3a-2a \right)}{\cos3a.\cos2a}+\ldots+\frac{\sin\left( 5a-4a \right)}{\cos5a.\cos4a} \right]$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \frac{\sin2a.\cos a-\sin a.\cos2a}{\cos2a.\cos a}+\frac{\sin3a.\cos2a-\sin2a.\cos3a}{\cos3a.\cos2a}+\ldots+\frac{\sin5a.\cos4a-\sin4a.\cos5a}{\cos5a.\cos4a} \right)$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \tan2a-\tan a+\tan3a-\tan2a+\ldots+\tan5a-\tan4a \right)$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \tan5a-\tan a \right)$
Với $a=\frac{\pi}{5}$ ta được $S=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{5}}\left( \tan\pi-\tan\frac{\pi}{5} \right)=-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{5}}$.
e. Ta có: $S_5=\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos2x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos4x} \right)\ldots\left( 1+\frac{1}{\cos2^{n-1}x} \right)$
$=\left( \frac{1+\cos x}{\cos x} \right)\left( \frac{1+\cos2x}{\cos2x} \right)\left( \frac{1+\cos4x}{\cos4x} \right)\ldots\left( \frac{1+\cos2^{n-1}x}{\cos2^{n-1}x} \right)$
$=\frac{2\cos^{2}\frac{x}{2}.2\cos^{2}x.2\cos^{2}2x\ldots2\cos^{2}2^{n-2}x}{\cos x.\cos2x.\cos4x\ldots\cos2^{n-1}x}$
$=\frac{\cos\frac{x}{2}.2\cos\frac{x}{2}.2\cos x.2\cos2x.2\cos4x\ldots2\cos2^{n-2}x}{\cos2^{n-1}x}$
Nhân hai vế với $\sin\frac{x}{2}$ và áp dụng công thức nhân đôi $2\sin\alpha.\cos\alpha=\sin2\alpha$ ta được
$\sin\frac{x}{2}.S_5=\frac{\cos\frac{x}{2}.\sin2^{n-1}x}{\cos2^{n-1}x}\Rightarrow \sin\frac{x}{2}.S_5=\cos\frac{x}{2}.\tan2^{n-1}x$
$\Rightarrow S_5=\tan2^{n-1}x.\cot\frac{x}{2}$
Vậy $S_5=\tan2^{n-1}x.\cot\frac{x}{2}$.
Nhân cả hai vế với $2\sin\alpha$ ta có:
$2\sin\alpha.S_1=2\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin\alpha.\cos3\alpha+2\sin\alpha.\cos5\alpha+\ldots+2\sin\alpha.\cos\left( 2n-1 \right)\alpha$
$\Rightarrow 2\sin\alpha.S_1=\sin2\alpha+\left( \sin4\alpha-\sin2\alpha \right)+\left( \sin6\alpha-\sin4\alpha \right)+\ldots+\left[ \sin2n\alpha-\sin\left( 2n-2 \right)\alpha \right]$
$\Rightarrow 2\sin\alpha.S_1=\sin2n\alpha$
$\Rightarrow S_1=\frac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha}$
Vậy $S_1=\frac{\sin2n\alpha}{2\sin\alpha}$.
b. Xét bài toán tổng quát. Tính tổng $S_2=\sin x+\sin2x+\sin3x+\ldots+\sin\left( n-1 \right)x$.
Nhân cả hai vế với $2\sin\frac{x}{2}$ ta có:
$2\sin\frac{x}{2}.S_2=2\sin\frac{x}{2}.\sin x+2\sin\frac{x}{2}.\sin2x+2\sin\frac{x}{2}.\sin3x+\ldots+2\sin\frac{x}{2}.\sin\left( n-1 \right)x$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=\left( \cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2} \right)+\left( \cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2} \right)+\left( \cos\frac{5x}{2}-\cos\frac{7x}{2} \right)+\ldots+\left[ \cos\left( \frac{2n-3}{2} \right)x-\cos\left( \frac{2n-1}{2} \right)x \right]$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=\cos\frac{x}{2}-\cos\left( \frac{2n-1}{2} \right)x$
$\Rightarrow 2\sin\frac{x}{2}.S_2=2\sin\frac{\left( n-1 \right)x}{2}.\sin\frac{nx}{2}$
$\Rightarrow S_2=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)x}{2}.\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$
Áp dụng với $x=\frac{\pi}{n}$ ta được: $S_2=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{2n}.\sin\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{\sin\frac{\left( n-1 \right)\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}$
c. Áp dụng câu a với $\alpha=\frac{\pi}{n}$ ta được: $S_3=\frac{\sin\left( 2n\pi \right)}{2\sin\frac{\pi}{n}}=0$.
d. Ta có : $S=\frac{1}{\sin a}\left[ \frac{\sin\left( 2a-a \right)}{\cos2a.\cos a}+\frac{\sin\left( 3a-2a \right)}{\cos3a.\cos2a}+\ldots+\frac{\sin\left( 5a-4a \right)}{\cos5a.\cos4a} \right]$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \frac{\sin2a.\cos a-\sin a.\cos2a}{\cos2a.\cos a}+\frac{\sin3a.\cos2a-\sin2a.\cos3a}{\cos3a.\cos2a}+\ldots+\frac{\sin5a.\cos4a-\sin4a.\cos5a}{\cos5a.\cos4a} \right)$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \tan2a-\tan a+\tan3a-\tan2a+\ldots+\tan5a-\tan4a \right)$
$=\frac{1}{\sin a}\left( \tan5a-\tan a \right)$
Với $a=\frac{\pi}{5}$ ta được $S=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{5}}\left( \tan\pi-\tan\frac{\pi}{5} \right)=-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{5}}$.
e. Ta có: $S_5=\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos2x} \right)\left( 1+\frac{1}{\cos4x} \right)\ldots\left( 1+\frac{1}{\cos2^{n-1}x} \right)$
$=\left( \frac{1+\cos x}{\cos x} \right)\left( \frac{1+\cos2x}{\cos2x} \right)\left( \frac{1+\cos4x}{\cos4x} \right)\ldots\left( \frac{1+\cos2^{n-1}x}{\cos2^{n-1}x} \right)$
$=\frac{2\cos^{2}\frac{x}{2}.2\cos^{2}x.2\cos^{2}2x\ldots2\cos^{2}2^{n-2}x}{\cos x.\cos2x.\cos4x\ldots\cos2^{n-1}x}$
$=\frac{\cos\frac{x}{2}.2\cos\frac{x}{2}.2\cos x.2\cos2x.2\cos4x\ldots2\cos2^{n-2}x}{\cos2^{n-1}x}$
Nhân hai vế với $\sin\frac{x}{2}$ và áp dụng công thức nhân đôi $2\sin\alpha.\cos\alpha=\sin2\alpha$ ta được
$\sin\frac{x}{2}.S_5=\frac{\cos\frac{x}{2}.\sin2^{n-1}x}{\cos2^{n-1}x}\Rightarrow \sin\frac{x}{2}.S_5=\cos\frac{x}{2}.\tan2^{n-1}x$
$\Rightarrow S_5=\tan2^{n-1}x.\cot\frac{x}{2}$
Vậy $S_5=\tan2^{n-1}x.\cot\frac{x}{2}$.