(Cụm THPT Hoàn Kiếm - Hai Bà Trưng - Hà Nội 2025) Bạn A có hai quân xúc xắc 6 mặt. Một xúc xắc cân đối có xác suất ra các mặt đều như nhau. Xúc xắc còn lại có xác suất ra mặt 6 là $ \frac { 2 } { 3 } $ và xác suất ra các mặt còn lại bằng nhau. Bạn A chọn ngẫu nhiên một trong hai xúc sắc và tung nó ba lần. Xác suất để lần thứ ba ra mặt 1 khi biết cả hai lần trước đó đều ra mặt 6 là $ \frac { p } { q } $ với p,q là các số nguyên dương và số nguyên tố cùng nhau. Tính p+q.

Gọi A là biến cố chọn được con xúc xắc cân đối là biến cố chọn được con xúc xắc còn lại Gọi B là biến cố lần trước đều ra mặt 6 C là biến cố lần thứ ba ra mặt 1 $ P\left ( { B } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6 }.\frac { 1 } { 6 }+\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }=\frac { 17 } { 72 } $ $ P\left ( { C\| B } \right )=\frac { P\left ( { CB } \right ) } { P\left ( { B } \right ) }=\frac { \frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 6 }.\frac { 1 } { 6 }.\frac { 1 } { 6 }+\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { 15 } } { \frac { 17 } { 72 } }=\frac { 37 } { 510 } $ Suy ra $ p=37\,\,\,;\,\,q=510 $ Suy ra $ p+q=547 $