(Chuyên Phan Bội Châu - Hà Tĩnh 2025) Cho hàm số $ y=ax+b+\frac { c } { x+d }\,\,\left ( { a,b,c,d\in \mathbb{R} } \right ) $ có đồ thị như hình vẽ sau:

a) Đúng. Theo hình vẽ đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $ x=-2 $. Ta có: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \left[ y-\left ( { ax+b } \right ) \right]=\lim\limits_{ x\to +\infty } \left ( { \frac { c } { x+d } } \right )=0 $. Suy ra, $ y=ax+b $ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Theo đồ thị hình vẽ, tiệm cận xiên đi qua hai điểm $ \left ( { -2\,;\,0 } \right ) $ và $ \left ( { 0\,;-4 } \right ) $. Ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} a\left ( { -2 } \right )+b=0 \\ a.0+b=-4 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=-4 \end{array} \right. $. Do đó, $ y=-2x-4 $ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. b) Chọn ĐÚNG. c) Chọn SAI. d) Đúng. Ta có $ \lim\limits_{ x\to -d ^ { + } } y=-\infty ;\lim\limits_{ x\to -d ^ { - } } y=+\infty $. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $ x=-d $. Theo câu a) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $ x=-2 $. Suy ra $ d=2 $. Đồ thị hàm số $ y=-2x-4+\frac { c } { x+2 } $ đi qua điểm $ \left ( { 0\,;-5 } \right ) $ nên $ -5=-2.0-4+\frac { c } { 0+2 }⇔c=-2 $. Vậy hàm số đã cho là $ y=-2x-4-\frac { 2 } { x+2 } $.