Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách $ 300km $ để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là $ 6km/h $. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $ v $ km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong $ t $ giờ cho bởi công thức $ E\left ( { v } \right )=cv ^ { 3 } t $ trong đó $ c $ là hằng số cho trước. $ E $ tính bằng Jun. Tính vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên, để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất?

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là $ v-6 $, khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là $ t=\frac { 300 } { v-6 } $. Khi đó, $ E\left ( { v } \right )=cv ^ { 3 } \frac { 300 } { v-6 } $ với $ v>6 $. Đặt $ x=v-6 $. Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số: $ f\left ( { x } \right )=300c.\frac { \left ( { x+6 } \right ) ^ { 3 } } { x } $ với $ x>0 $. Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=300c.\frac { \left ( { x+6 } \right ) ^ { 2 } \left ( { 2x-6 } \right ) } { x ^ { 2 } } $ Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=0⇔\left ( { x+6 } \right ) ^ { 2 } \left ( { 2x-6 } \right )=0⇔2x ^ { 3 } +18x ^ { 2 } -216=0⇒x=3 $ (vì $ x>0 $). Bảng biến thiên: Vậy $ \mathop { \min } \limits_{ x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 3 } \right ) $ hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là $ v=9km/h $ thì cá ít tốn năng lượng nhất.