Cho các số tự nhiên $ n $. Trên đồ thị hàm số $ y=x ^ { 2 } $ lấy điểm $ A_{ n } \left ( { n,n ^ { 2 } } \right ). $ Vẽ đường thẳng qua $ A_{ n } $ có hệ số góc $ -\sqrt[] { 3 } $, nó cắt trục $ Ox $ tại điểm $ B_{ n } $. Hỏi giá trị của giới hạn $ \lim\limits_{ n\to \infty } \frac { OB_{ n } } { OA_{ n } } $ là bao nhiêu, $ O $ là gốc tọa độ. (làm tròn kế quả đến hàng phần trăm)

Theo đề ta suy ra phương trình đường thẳng đã vẽ là: $ y=-\sqrt[] { 3 }(x-n)+n ^ { 2 } $ Ta xét $ -\sqrt[] { 3 }(x-n)+n ^ { 2 } =0⇔\sqrt[] { 3 }x=\sqrt[] { 3 }n+n ^ { 2 } ⇒x=n+\frac { n ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } $ hay $ B\left ( { n+\frac { n ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } };0 } \right ) $ Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} OB_{ n } =n+\frac { n ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } \\ OA_{ n } =\sqrt[] { n ^ { 2 } +n ^ { 4 } }=n\sqrt[] { 1+n ^ { 2 } } \end{array} \right. $ suy ra $ \lim\limits_{ n\to \infty } \frac { OB_{ n } } { OA_{ n } }=\frac { n+\frac { n ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } } { n\sqrt[] { 1+n ^ { 2 } } }=\lim\limits_{ n\to \infty } \frac { \frac { 1 } { n }+\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } } { \sqrt[] { \frac { 1 } { n ^ { 2 } }+1 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $