(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số $ m $ để giá trị nhỏ nhất của ham số $ f\left ( { x } \right )=\left | { { \rm{ e } } ^ { 2x } -4{ \rm{ e } } ^ { x } +m } \right | $ trên đoạn $ \left[ 0;ln4 \right] $ bằng 6?

Question

Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } ight ). $ Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Kiểm tra $ max\left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } ight |,\left | { m+k } ight | \end{array} ight \}\geq \frac { \left | { m+K } ight |+\left | { m+k } ight | } { 2 }\,\geq \frac { \left | { m+K-m-k } ight | } { 2 }=\frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }. $ TH1:$ \frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }\leq a. $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=a\Leftrightarrow \left[ m+k=-a \ m+K=a ight.\Leftrightarrow \left[ m=-a-k \ m=a-K ight.\Rightarrow m\in \left \{ \begin{array}{l} -a-k;a-K \end{array} ight \} $. TH2:$ \frac { \left | { K-k } ight | } { 2 }>a $ $ \Rightarrow m\in ∅ $. Cách 2: Xét trường hợp TH1: $ Max=\left | { m+K } ight |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+K } ight |=a \ \left | { m+K } ight |\geq \left | { m+k } ight | \end{array} ight. $ TH2:$ Max=\left | { m+k } ight |\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { m+k } ight |=a \ \left | { m+k } ight |\geq \left | { m+K } ight | \end{array} ight. $ Dạng 2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight |=a\,\,\,\,\left ( { a>0 } ight ). $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để$ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k=a \ m+k>0 \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K=-a \ m+K < 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m=a-k \ m>-k \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m=-a-K \ m < -K \end{array} ight.. $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 3: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ không vượt quá giá trị $ M $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để$ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y\leq M\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\geq -M \ m+K\leq M \end{array} ight.\Leftrightarrow -M-k\leq m\leq M-K. $ Dạng 4: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ không vượt quá giá trị $ a $ cho trước. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ \alpha ;\beta ight] } y\leq a\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+k\leq a \ m+k\geq 0 \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m+K\geq -a \ m+K\leq 0 \end{array} ight.∨\left ( { m+K } ight )\left ( { m+k } ight ) < 0\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\leq a-k \ m\geq -k \end{array} ight.∨\left \{ \begin{array}{l} m\geq -a-K \ m\leq -K \end{array} ight.∨-K < m < -k. $ Dạng 5: Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow m=-\frac { K+k } { 2 }. $ Đề hỏi tìm min của $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ \frac { K-k } { 2 }. $ Dạng 6: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $ đạt min. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ Đề hỏi tìm $ m\Rightarrow \left ( { m+K } ight )\left ( { m+k } ight )\leq 0\Leftrightarrow -K\leq m\leq -k $. Đề hỏi tìm min của $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\Rightarrow $ giá trị này là $ 0. $ Dạng 7: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $.Tìm $ m $ để $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\leq h.\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y\,\left ( { h>0 } ight ) $hoặc $ Min+max= $ Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ TH1: $ \left | { K+m } ight |\leq h\left | { k+m } ight |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ m{ c } }{ m{ u } }{ m{ n } }{ m{ g } }\,{ m{ d } }{ m{ a } }{ m{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { K+m } ight |\,\geq \,\left | { k+m } ight | }}m\in S_{ 1 } . $ TH2: $ \left | { k+m } ight |\leq h\left | { K+m } ight |\xrightarrow [\mathrm{ K+m\,\,\,{ m{ c } }{ m{ u } }{ m{ n } }{ m{ g } }\,{ m{ d } }{ m{ a } }{ m{ u } }\,\,k+m\,\, }] {\mathrm{ \left | { k+m } ight |\,\geq \,\left | { K+m } ight | }}m\in S_{ 2 } . $ Vậy $ m\in S_{ 1 } ∪S_{ 2 } . $ Dạng 8: Cho hàm số $ y=\left | { f\left ( { x } ight )+m } ight | $. Phương pháp: Trước tiên tìm $ \mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=K;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } f\left ( { x } ight )=k\,\,\left ( { K>k } ight ). $ BT1: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y+\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\alpha \Leftrightarrow \left | { m+K } ight |+\left | { m+k } ight |=\alpha $. BT2: Tìm $ m $ để $ \mathop { min } \limits_{ \left[ a;b ight] } y*\mathop { max } \limits_{ \left[ a;b ight] } y=\beta \Leftrightarrow \left | { m+K } ight |*\left | { m+k } ight |=\beta $. (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số $ m $ để giá trị nhỏ nhất của ham số $ f\left ( { x } ight )=\left | { { m{ e } } ^ { 2x } -4{ m{ e } } ^ { x } +m } ight | $ trên đoạn $ \left[ 0;ln4 ight] $ bằng 6?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $t={\rm e}^x$. Vì $x\in[0;\ln4]$ nên $t\in[1;4]$. Khi đó bài toán trở thành tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f(t)=|t^2-4t+m|$ trên $[1;4]$ bằng $6$. Đặt $s=t^2-4t$. Với $t\in[1;4]$ thì $s\in[-4;0]$, nên $s+m$ nhận mọi giá trị trên đoạn $[m-4,m]$. Để $\min_{s\in[-4;0]}|s+m|=6$, đoạn $[m-4,m]$ phải nằm hoàn toàn về một phía của $0$ và đầu mút gần $0$ có giá trị tuyệt đối bằng $6$. Nếu $m-4\geq0$ thì $m-4=6$, suy ra $m=10$. Nếu $m\leq0$ thì $|m|=6$, suy ra $m=-6$. Vậy có hai giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=10$ và $m=-6$.

Bài tập nâng cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 5