Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 22

Cách 1
Ta có : $\left( SBC \right)\cap \left( SCD \right)=SC$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{l} BD\perp SA\left( SA\perp \left( ABCD \right),BD\subset \left( ABCD \right) \right) \\ BD\perp AC \end{array} \right.\Rightarrow BD\perp SC$ (1)
Trong mp$\left( SAC \right)$, kẻ $OH\perp SC$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $SC\perp \left( HBD \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SC\perp HD\subset \left( SDC \right) \\ SC\perp HB\subset \left( SBC \right) \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=\left( HD,HB \right)$.
Vì $BD\perp \left( SAC \right)\supset OH$ nên $BD\perp OH$
$\Rightarrow \Delta vgHOD=\Delta vgHOB\left( 2cgv \right)$
$\Rightarrow \widehat{DHB}=2\widehat{DHO}$
$DO=\frac{DB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta$ vuông $OHC\sim \Delta$ vuông $SAC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{OH}{SA}=\frac{OC}{SC}\Rightarrow OH=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=a\frac{\sqrt{6}}{6}$
Xét tam giác vuông $DHO$, ta có : $\tan \widehat{DHO}=\frac{DO}{OH}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \widehat{DHO}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{DHB}=2\widehat{DHO}=120^{\circ}$
Vậy $\left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=60^{\circ}$.
Cách 2

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SD$.
Do tam giác $SAB$ và tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$ nên $AM,AN$ là hai đường cao
Ta có :
$\left\{ \begin{array}{l} CB\perp SA\left( SA\perp \left( ABCD \right),CB\subset \left( ABCD \right) \right) \\ CB\perp AB \end{array} \right.\Rightarrow CB\perp \left( SAB \right)\supset AM\Rightarrow CB\perp AM$
mà $AM\perp SB\left( cmt \right)\Rightarrow AM\perp \left( SBC \right)$ (1)
$\left\{ \begin{array}{l} CD\perp SA\left( SA\perp \left( ABCD \right),CD\subset \left( ABCD \right) \right) \\ CD\perp AD \end{array} \right.\Rightarrow CD\perp \left( SAD \right)\supset AN\Rightarrow CD\perp AN$
mà $AN\perp SD\left( cmt \right)\Rightarrow AN\perp \left( SCD \right)$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $\left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=\left( AM,AN \right)$
$\Delta SAB=\Delta SAD\left( c.g.c \right)\Rightarrow AM=AN=\frac{SB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có : $MN$ là đường trung bình của $\Delta SBD\Rightarrow MN=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow AM=AN=MN$
$\Rightarrow \Delta AMN$ đều.
$\Rightarrow \widehat{MAN}=60^{\circ}$
Vậy $\left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=60^{\circ}$.