Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 21

$S.ABCD$ là hình chóp đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\perp \left( ABCD \right).$
Gọi $I$ là trung điểm $CD.$ Suy ra $OI\perp CD$.
Lại có $CD\perp SI$ (tam giác $SCD$ cân).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} CD=\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right) \\ SI\subset \left( SCD \right),\,\,SI\perp CD \\ OI\subset \left( ABCD \right),\,\,OI\perp CD \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left( \left( SCD \right)\,,\,\left( ABCD \right) \right)=\left( SI\,,\,OI \right)=\widehat{SIO}$ (do tam giác $SOI$ vuông tại $O$).
$OI=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.$
$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
$SO=\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{\left( 2a \right)^{2}-\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$
$\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{IO}=\frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{14}.$