Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 20
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, chiều cao bằng $2a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính $\tan \alpha$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD\Rightarrow SO$ là đường cao của hình chóp đều $S.ABCD$.
Nên $SO=2a$.
Ta có: $AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)\left( 1 \right)$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
Mà $\Delta SAB$ cân tại $S\Rightarrow SH$ là đường cao $\Delta SAB$
$\Rightarrow SH\perp AB\left( 2 \right)$
Lại có: $OH$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\Rightarrow OH\perp AB\left( 3 \right)$
Và $OH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$, suy ra $\alpha =\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SHO}$
Xét $\Delta SOH$ vuông tại $O\Rightarrow \tan \alpha =\frac{SO}{OH}=\frac{2a}{\frac{a}{2}}=4$.
Nên $SO=2a$.
Ta có: $AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)\left( 1 \right)$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
Mà $\Delta SAB$ cân tại $S\Rightarrow SH$ là đường cao $\Delta SAB$
$\Rightarrow SH\perp AB\left( 2 \right)$
Lại có: $OH$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\Rightarrow OH\perp AB\left( 3 \right)$
Và $OH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$, suy ra $\alpha =\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SHO}$
Xét $\Delta SOH$ vuông tại $O\Rightarrow \tan \alpha =\frac{SO}{OH}=\frac{2a}{\frac{a}{2}}=4$.