Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 19
Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a\sqrt{3}, BC=a$ và $SA=SB=SC=SD=2a$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên SA. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( BHK \right)$ và $\left( SBD \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
+ Gọi $O=AC\cap BD$, ta có $\widehat{CAB}=30^{\circ},\widehat{ACB}=60^{\circ}\Rightarrow AK=AB.\cos 30^{\circ}=\frac{3a}{2},BK=BC.\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
+ Gọi $I=SO\cap HK$, kẻ $KE\perp OB,KF\perp BI$ thì $\varphi =\left( \widehat{\left( BHK \right);\left( SBD \right)} \right)=\widehat{KFE}$.
+ $\Delta SAC$ đều $\Rightarrow \widehat{OKI}=30^{\circ}$, $KO=\frac{a}{2}$ nên $KI=\frac{KO}{\cos 30^{\circ}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
+ $\Delta BKI$ vuông nên $KF=\frac{KB.KI}{\sqrt{KB^{2}+KI^{2}}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}$; $KE=KB.\sin 30^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
+ Trong $\Delta KFE$ vuông có $\sin \varphi =\frac{KE}{KF}=\frac{\sqrt{13}}{4}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}$.