Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 9
Cho $A(1;3)$, $B(2;5)$ và $C(4;-1)$.
a) Tìm chu vi của tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng $AB,AC$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
e) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác.
f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a) Tìm chu vi của tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng $AB,AC$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
e) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác.
f) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;2)$, $\overrightarrow{BC}=(2;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(3;-4)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$; $BC=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}$; $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow P_{ABC}=\sqrt{5}+5+\sqrt{40}$.
b) Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$: $x_M=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$; $y_M=\frac{3+5}{2}=4\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};4\right)$.
Trung điểm $N$ của đoạn $AC$: $x_N=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$; $y_N=\frac{3-1}{2}=1\Rightarrow N\left(\frac{5}{2};1\right)$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$ tương tự như các bài toán trước: $G\left(\frac{7}{3};\frac{7}{3}\right)$.
d) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4-x=1\\-1-y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-3\end{array}\right.\Rightarrow D(3;-3)$.
e) Ta có phương trình đường thẳng $AB$: $y=2x+1$. Suy ra đường cao $CH$ là $y=-\frac{1}{2}(x-4)-1$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là $y=-\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}$. Suy ra đường cao $BE$ là $y=\frac{3}{4}(x-2)+5$.
Tọa độ trực tâm $H$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}(x-4)-1\\y=\frac{3}{4}(x-2)+5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=2\end{array}\right.\Rightarrow H(-2;2)$.
f) Phương trình trung trực của $AB$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ là: $y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)+4$.
Phương trình trung trực của $AC$ đi qua $N$ và vuông góc với $AC$ là: $y=\frac{3}{4}\left(x-\frac{5}{2}\right)+1$.
Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ là giao điểm của hai trung trực nên thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)+4\\y=\frac{3}{4}\left(x-\frac{5}{2}\right)+1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\frac{9}{2};\frac{5}{2}\right)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$; $BC=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}$; $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow P_{ABC}=\sqrt{5}+5+\sqrt{40}$.
b) Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$: $x_M=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$; $y_M=\frac{3+5}{2}=4\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};4\right)$.
Trung điểm $N$ của đoạn $AC$: $x_N=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$; $y_N=\frac{3-1}{2}=1\Rightarrow N\left(\frac{5}{2};1\right)$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$ tương tự như các bài toán trước: $G\left(\frac{7}{3};\frac{7}{3}\right)$.
d) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4-x=1\\-1-y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-3\end{array}\right.\Rightarrow D(3;-3)$.
e) Ta có phương trình đường thẳng $AB$: $y=2x+1$. Suy ra đường cao $CH$ là $y=-\frac{1}{2}(x-4)-1$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là $y=-\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}$. Suy ra đường cao $BE$ là $y=\frac{3}{4}(x-2)+5$.
Tọa độ trực tâm $H$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}(x-4)-1\\y=\frac{3}{4}(x-2)+5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=2\end{array}\right.\Rightarrow H(-2;2)$.
f) Phương trình trung trực của $AB$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ là: $y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)+4$.
Phương trình trung trực của $AC$ đi qua $N$ và vuông góc với $AC$ là: $y=\frac{3}{4}\left(x-\frac{5}{2}\right)+1$.
Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ là giao điểm của hai trung trực nên thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)+4\\y=\frac{3}{4}\left(x-\frac{5}{2}\right)+1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\frac{9}{2};\frac{5}{2}\right)$.