Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 8
Cho tam giác $ABC$ có $A(4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.
a) Tính chu vi tam giác.
b) Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
c) Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Xác định tọa độ trực tâm $H$ của tam giác.
e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a) Tính chu vi tam giác.
b) Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
c) Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Xác định tọa độ trực tâm $H$ của tam giác.
e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;3)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-3)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$; $BC=6$; $AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\Rightarrow P_{ABC}=2\sqrt{13}+6$.
b) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2-x=-2\\-2-y=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=-5\end{array}\right.\Rightarrow D(4;-5)$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác: $x_G=\frac{4+2+2}{3}=\frac{8}{3}$; $y_G=\frac{1+4-2}{3}=1\Rightarrow G\left(\frac{8}{3};1\right)$.
d) Ta có phương trình đường thẳng $AC$: $y=\frac{3}{2}x-5$. Suy ra đường cao $BF$ qua $B$ và vuông góc với $AC$ là $y=-\frac{2}{3}(x-2)+4\Leftrightarrow y=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $y=-\frac{3}{2}x+7$, suy ra đường cao $CK$ đi qua $C$ và vuông góc với $AB$ là $y=\frac{2}{3}(x-2)-2\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$.
Tọa độ trực tâm $H$ là giao điểm của $BF$ và $CK$ nên $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\\y=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{13}{2}\\y=1\end{array}\right.\Rightarrow H\left(\frac{13}{2};1\right)$.
e) Trung điểm đoạn $AB$ và $BC$ lần lượt là $M\left(3;\frac{5}{2}\right)$, $N(2;1)$.
Phương trình trung trực của $AB$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ là: $y=\frac{2}{3}(x-3)+\frac{5}{2}$.
Phương trình trung trực của $BC$ là $y=1$.
Tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ là giao điểm của hai trung trực nên $I\left(\frac{3}{4};1\right)$.
$\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$; $BC=6$; $AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\Rightarrow P_{ABC}=2\sqrt{13}+6$.
b) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2-x=-2\\-2-y=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=-5\end{array}\right.\Rightarrow D(4;-5)$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác: $x_G=\frac{4+2+2}{3}=\frac{8}{3}$; $y_G=\frac{1+4-2}{3}=1\Rightarrow G\left(\frac{8}{3};1\right)$.
d) Ta có phương trình đường thẳng $AC$: $y=\frac{3}{2}x-5$. Suy ra đường cao $BF$ qua $B$ và vuông góc với $AC$ là $y=-\frac{2}{3}(x-2)+4\Leftrightarrow y=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $y=-\frac{3}{2}x+7$, suy ra đường cao $CK$ đi qua $C$ và vuông góc với $AB$ là $y=\frac{2}{3}(x-2)-2\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$.
Tọa độ trực tâm $H$ là giao điểm của $BF$ và $CK$ nên $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\\y=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{13}{2}\\y=1\end{array}\right.\Rightarrow H\left(\frac{13}{2};1\right)$.
e) Trung điểm đoạn $AB$ và $BC$ lần lượt là $M\left(3;\frac{5}{2}\right)$, $N(2;1)$.
Phương trình trung trực của $AB$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ là: $y=\frac{2}{3}(x-3)+\frac{5}{2}$.
Phương trình trung trực của $BC$ là $y=1$.
Tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ là giao điểm của hai trung trực nên $I\left(\frac{3}{4};1\right)$.