Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 7
Cho ba điểm $A(-1;1)$, $B(2;1)$, $C(-1;-3)$.
a) Chứng minh tồn tại tam giác $ABC$.
b) Tính chu vi tam giác.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
e) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho $M$ cách đều $A,B$.
f) Tìm điểm $N$ thuộc trục $Oy$ sao cho $N$ cách đều $B,C$.
a) Chứng minh tồn tại tam giác $ABC$.
b) Tính chu vi tam giác.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
e) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho $M$ cách đều $A,B$.
f) Tìm điểm $N$ thuộc trục $Oy$ sao cho $N$ cách đều $B,C$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có phương trình đường thẳng $AB$: $y=ax+b$.
$\left\{\begin{array}{l}A\in d\\B\in d\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1=-a+b\\1=2a+b\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=0\\b=1\end{array}\right.\Rightarrow d:y=1$.
Do $C$ không thuộc $d$ nên ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, tức là tam giác tồn tại.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0)$, $\overrightarrow{BC}=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$.
$\Rightarrow AB=3$, $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $AC=4\Rightarrow P_{ABC}=3+5+4=12$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$: $\left\{\begin{array}{l}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=0\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow G\left(0;-\frac{1}{3}\right)$.
d) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1-x=3\\-3-y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-4\\y=-3\end{array}\right.\Rightarrow D(-4;-3)$.
e) Phương trình trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $x=\frac{1}{2}$. $M$ là giao của trung trực này với trục $Ox$ hay $M\left(\frac{1}{2};0\right)$.
f) Gọi $N(0;x)\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}CN^2=1+(x+3)^2\\BN^2=2^2+(1-x)^2\end{array}\right.$.
$N$ cách đều $B$ và $C$ khi $CN^2=BN^2\Leftrightarrow1+(x+3)^2=2^2+(1-x)^2$.
$\Leftrightarrow x^2+6x+10=x^2-2x+5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{8}\Rightarrow N\left(0;-\frac{5}{8}\right)$.
$\left\{\begin{array}{l}A\in d\\B\in d\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1=-a+b\\1=2a+b\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=0\\b=1\end{array}\right.\Rightarrow d:y=1$.
Do $C$ không thuộc $d$ nên ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, tức là tam giác tồn tại.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0)$, $\overrightarrow{BC}=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$.
$\Rightarrow AB=3$, $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $AC=4\Rightarrow P_{ABC}=3+5+4=12$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$: $\left\{\begin{array}{l}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=0\\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow G\left(0;-\frac{1}{3}\right)$.
d) Gọi $D(x;y)$, $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1-x=3\\-3-y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-4\\y=-3\end{array}\right.\Rightarrow D(-4;-3)$.
e) Phương trình trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $x=\frac{1}{2}$. $M$ là giao của trung trực này với trục $Ox$ hay $M\left(\frac{1}{2};0\right)$.
f) Gọi $N(0;x)\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}CN^2=1+(x+3)^2\\BN^2=2^2+(1-x)^2\end{array}\right.$.
$N$ cách đều $B$ và $C$ khi $CN^2=BN^2\Leftrightarrow1+(x+3)^2=2^2+(1-x)^2$.
$\Leftrightarrow x^2+6x+10=x^2-2x+5\Leftrightarrow x=-\frac{5}{8}\Rightarrow N\left(0;-\frac{5}{8}\right)$.