Bài tập nâng cao · Bài 50

Dạng 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn I. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ có giới hạn là số thực $ L $, nếu $ \mathop { lim } \left ( { u_{ n } -L } \right )=0 $. Kí hiệu: $ \mathop { lim } \left ( { u_{ n } -L } \right )=0 $$ \Leftrightarrow \mathop { lim } u_{ n } =L $ Ii. Định lý: Cho $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ mà $ u_{ n } =c,\,∀n:\,limu_{ n } =c $ Định lý 1: $ \mathop { lim } u_{ n } =L\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \mathop { lim } \left | { u_{ n } } \right |=\left | { L } \right | \\ \mathop { lim } \sqrt[3] { u_{ n } }=\sqrt[3] { L } \end{array} \right. $ Nếu $ u_{ n } \geq 0 $ thì $ L\geq 0 $ thì $ lim\sqrt[] { u_{ n } }=\sqrt[] { limu_{ n } } $ Định lý 2: Giả sử $ limu_{ n } =L $ và $ limv_{ n } =M $ và $ c $ là một hằng số. Khi đó: $ lim\left ( { u_{ n } +v_{ n } } \right )=L+M $ $ lim\left ( { u_{ n } -v_{ n } } \right )=L-M $ $ lim\left ( { u_{ n } .v_{ n } } \right )=L.M $ $ lim\frac { u_{ n } } { v_{ n } }=\frac { L } { M } $ $ lim\left ( { c.u_{ n } } \right )=c.L $ Dạng 2.1 Chứng minh đẳng thức $ limu_{ n } =A $bằng định nghĩa Dạng 2. 2 Tìm giới hạn của dãy số có giới hạn hữu hạn Thông thường ta sẽ gặp các dạng toán cơ bản sau 1) Gặp giới hạn của $ \left ( { u_{ n } } \right ) $trong đó $ u_{ n } $ là một phân thức hữu tỉ dạng $ u_{ n } =\frac { P\left ( { n } \right ) } { Q\left ( { n } \right ) } $ (trong đó $ P\left ( { n } \right ),Q\left ( { n } \right ) $ là hai đa thức chứa của $ n $). Phương pháp: Chia tử và mẫu cho $ n ^ { k } $ với $ n ^ { k } $ là lũy thừa có số mũ lớn nhất của $ P\left ( { n } \right ) $ và $ Q\left ( { n } \right ) $ (hoặc là rút $ n ^ { k } $ làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và $ lim\frac { a } { n ^ { k } }=0\,\left ( { k>0 } \right ) $ để tính. 2) Gặp giới hạn của dãy $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là biểu thức chứa $ n $ dưới dấu căn. Phương pháp -Khi $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là một phân thức TH1: Đưa $ n ^ { k } $ ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của n trong dấu căn) và áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn TH2: Khi đưa $ n ^ { k } $ ra ngoài dấu căn mà giới hạn vẫn vô định (mẫu tiến đến 0) thì ta phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thứa chứa căn tiến về 0. -Khi $ u_{ n } $ không là phân thức: $ u_{ n } $ có dạng $ \sqrt[] { A }-\sqrt[] { B },\sqrt[] { A }-B,\sqrt[3] { A }-\sqrt[3] { B }.... $ thì ta nhân và chia với lượng liên hợp đưa về dạng phân thức Chú ý $ \sqrt[] { a }-\sqrt[] { b } $ lượng liên hợp là $ \sqrt[] { a }+\sqrt[] { b } $$ $ $ \sqrt[] { a }+\sqrt[] { b } $ lượng liên hợp là $ \sqrt[] { a }-\sqrt[] { b } $ $ \sqrt[3] { a }-\sqrt[3] { b } $ lượng liên hợp là $ \sqrt[3] { a ^ { 2 } }+\sqrt[3] { a }.\sqrt[3] { b }+\sqrt[3] { b ^ { 2 } } $ $ \sqrt[3] { a }+\sqrt[3] { b } $ lượng liên hợp là $ \sqrt[3] { a ^ { 2 } }-\sqrt[3] { a }.\sqrt[3] { b }+\sqrt[3] { b ^ { 2 } } $ 3) Gặp giới hạn mà $ u_{ n } $ là một phân thức mà tử và mẫu của nó là biểu thức các lũy thừa có dạng $ a ^ { n } ,b ^ { n } \left ( { n\in \mathbb{N} } \right ) $...trong đó các cơ số $ a,b $ là các hằng số Phương pháp: Chia tử và mẫu cho $ a ^ { n } $ trong đó $ a $ là cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu. Áp dụng $ limq ^ { n } =0\left ( { \left | { q } \right | < 1 } \right ) $ và các quy tắc để tính 4) Giới hạn của dãy xác định bởi một công thức truy hồi Phương pháp Tìm công thức tính $ u_{ n } $ theo $ n $, từ đó tìm $ limu_{ n } $. Hoặc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (bawfng cách chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn. Chú ý rằng: Nếu $ limu_{ n } =a $ thì $ limu_{ n+1 } =limu_{ n+2 } =a $ 5) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp a) Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ có công bội $ q $ với $ \left | { q } \right | < 1 $ được gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn. b) Định lí: Gọi $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ n } +... $ là một tổng của cấp số nhân đã cho, ta có $ S=\frac { u_{ 1 } } { 1-q } $ 6) Giới hạn của dãy số mà $ u_{ n } $ có dạng $ u_{ n } =\sum \limits_{ k=1 } ^ n { a_{ k } } $ hay $ u_{ n } =\mathop { \pi } \limits_{ k=1 } a_{ k } $ Phương pháp: Cách 1: Dùng sai phân thu gọn $ u_{ n } $, dựa vào đó tìm $ limu_{ n } $ Cách 2: Sử dụng định lí kẹp: Cho ba dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ),\left ( { v_{ n } } \right ),\left ( { { \rm{ w } }_{ n } } \right ) $ thỏa mãn $ v_{ n } \leq u_{ n } \leq { \rm{ w } }_{ n } $ với mọi $ n $ và $ limv_{ n } =limw_{ n } =L\left ( { L\in \mathbb{R} } \right )\Rightarrow limu_{ n } =L $

Bài tập nâng cao Giới hạn của dãy số · Bài 50