Bài tập nâng cao · Bài 44
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 44
Từ các số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong mỗi số tự nhiên thỏa mãn hai điều kiện: mỗi chữ số có mặt đúng hai lần và 2 chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập $\{1;2;3\}$ sao cho trong mỗi số thỏa mãn 2 điều kiện: mỗi chữ số xuất hiện đúng 2 lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
Số tự nhiên có 6 chữ số là hoán vị của 6 phần tử 1; 1; 2; 2; 3; 3: $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ số.
- Gọi $S_1$ là số các số tự nhiên có đúng một cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_1$:
+ Chọn 2 vị trí kề nhau cho cặp chữ số giống nhau: 5 cách.
+ Điền 2 chữ số giống nhau vào hai vị trí đã chọn: 3 cách.
+ Điền 4 chữ số còn lại: Nếu cặp chữ số kề nhau, giống nhau đứng chính giữa thì có 4 cách, trường hợp khác có 2 cách.
Suy ra có: $4\cdot3\cdot2+1\cdot4\cdot3=36$ số.
- Gọi $S_2$ là số các số tự nhiên có đúng hai cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_2$:
+ Chọn 2 cặp vị trí kề nhau (sao cho 2 vị trí còn lại không kề nhau): 3 cách.
+ Chọn 2 cặp chữ số giống nhau điền vào 2 cặp vị trí đã chọn: $3\cdot2=6$ cách.
+ Điền chữ số còn lại vào 2 vị trí không kề nhau: 1 cách.
Suy ra có: $3\cdot6=18$ số.
- Gọi $S_3$ là số các số tự nhiên có đúng ba cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, có $3!=6$ số.
Vậy có: $90-36-18-6=30$ số.
Cách 2:
Xếp chữ số 1 và chữ số 2 trước:
TH1: 1…12…2: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”;
2…21…1: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”.
TH2: …2…1…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách;
…1…2…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách.
TH3: …1…2…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_5^2=10$ cách;
…2…1…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_5^2=10$ cách.
Vậy có: $1+1+4+4+10+10=30$ số.
Số tự nhiên có 6 chữ số là hoán vị của 6 phần tử 1; 1; 2; 2; 3; 3: $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ số.
- Gọi $S_1$ là số các số tự nhiên có đúng một cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_1$:
+ Chọn 2 vị trí kề nhau cho cặp chữ số giống nhau: 5 cách.
+ Điền 2 chữ số giống nhau vào hai vị trí đã chọn: 3 cách.
+ Điền 4 chữ số còn lại: Nếu cặp chữ số kề nhau, giống nhau đứng chính giữa thì có 4 cách, trường hợp khác có 2 cách.
Suy ra có: $4\cdot3\cdot2+1\cdot4\cdot3=36$ số.
- Gọi $S_2$ là số các số tự nhiên có đúng hai cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_2$:
+ Chọn 2 cặp vị trí kề nhau (sao cho 2 vị trí còn lại không kề nhau): 3 cách.
+ Chọn 2 cặp chữ số giống nhau điền vào 2 cặp vị trí đã chọn: $3\cdot2=6$ cách.
+ Điền chữ số còn lại vào 2 vị trí không kề nhau: 1 cách.
Suy ra có: $3\cdot6=18$ số.
- Gọi $S_3$ là số các số tự nhiên có đúng ba cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, có $3!=6$ số.
Vậy có: $90-36-18-6=30$ số.
Cách 2:
Xếp chữ số 1 và chữ số 2 trước:
TH1: 1…12…2: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”;
2…21…1: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”.
TH2: …2…1…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách;
…1…2…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách.
TH3: …1…2…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_5^2=10$ cách;
…2…1…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_5^2=10$ cách.
Vậy có: $1+1+4+4+10+10=30$ số.