Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 25
Cho $\tan\alpha=2$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Chứng minh rằng
$\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{\sqrt{\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin^{2}\alpha+2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{\sqrt{\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin^{2}\alpha+2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Xem lời giải
Lời giải
Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên $\cos\alpha < 0$, suy ra $|\cos\alpha|=-\cos\alpha$
Đặt $A=\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{\sqrt{\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin^{2}\alpha+2}}$. Ta có biến đổi sau:
$A=\frac{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-2.\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\sqrt{\frac{\sin\alpha.\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha}+2.\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+2.\frac{1}{\cos^{2}\alpha}}}=\frac{-\tan\alpha-2}{\sqrt{\tan\alpha+2.\tan^{2}\alpha+2.(1+\tan^{2}\alpha)}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(Đpcm)
Đặt $A=\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{\sqrt{\sin\alpha.\cos\alpha+2\sin^{2}\alpha+2}}$. Ta có biến đổi sau:
$A=\frac{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-2.\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\sqrt{\frac{\sin\alpha.\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha}+2.\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+2.\frac{1}{\cos^{2}\alpha}}}=\frac{-\tan\alpha-2}{\sqrt{\tan\alpha+2.\tan^{2}\alpha+2.(1+\tan^{2}\alpha)}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(Đpcm)