Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 24
Chứng minh đẳng thức sau: $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}\,\,=\,\,\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}\,\,=\,\,\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x-1 \right)\left( \sin x-\cos x+1 \right)=2\cos x\left( 1-\cos x \right)$
$\Leftrightarrow \sin^{2}x-\left( \cos x-1 \right)^{2}=2\cos x-2\cos^{2}x$
$\Leftrightarrow \sin^{2}x-\cos^{2}x+2\cos x-1=2\cos x-2\cos^{2}x$
$\Leftrightarrow -2\cos^{2}x+2\cos x-2\cos x+2\cos^{2}x=0$
$\Leftrightarrow 0=0$
Vậy : $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}\,\,=\,\,\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x-1 \right)\left( \sin x-\cos x+1 \right)=2\cos x\left( 1-\cos x \right)$
$\Leftrightarrow \sin^{2}x-\left( \cos x-1 \right)^{2}=2\cos x-2\cos^{2}x$
$\Leftrightarrow \sin^{2}x-\cos^{2}x+2\cos x-1=2\cos x-2\cos^{2}x$
$\Leftrightarrow -2\cos^{2}x+2\cos x-2\cos x+2\cos^{2}x=0$
$\Leftrightarrow 0=0$
Vậy : $\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}\,\,=\,\,\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}$