(KNTT10) Vị trí của một chất điểm $M$ tại thời điểm $t$ ($t$ trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là $\left(3+5\sin t^\circ;4+5\cos t^\circ\right)$. Tìm toạ độ của chất điểm $M$ khi $M$ ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Question

Dạng 5. Ứng dụng (KNTT10) Vị trí của một chất điểm $M$ tại thời điểm $t$ ($t$ trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là $\left(3+5\sin t^\circ;4+5\cos t^\circ\right)$. Tìm toạ độ của chất điểm $M$ khi $M$ ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Từ cách xác định tọa độ của chất điểm $M$ ta có $\left\{\begin{array}{l}x_M=3+5\sin t^\circ\y_M=4+5\cos t^\circ\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M-3=5\sin t^\circ\y_M-4=5\cos t^\circ\end{array}ight.\Rightarrow(x_M-3)^2+(y_M-4)^2=25$. Vậy chất điểm $M$ luôn thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;4)$ và có bán kính $R=5$. Mặt khác gốc toạ độ $O$ cũng thuộc đường tròn $(C)$. Do đó ta có $OM\leq2R=10$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $OM$ là đường kính của đường tròn $(C)$, nghĩa là $I$ là trung điểm của $OM$, điều đó tương đương với $\left\{\begin{array}{l}x_M=2x_I-x_O=6\y_M=2y_I-y_O=8\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin t^\circ=\frac{3}{5}\\cos t^\circ=\frac{4}{5}\end{array}ight.$ (có $t\in(0;180)$ thoả mãn hệ). Vậy $M(6;8)$.

Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 31