Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 27

a) Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40. Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $ C_{ 40 } ^{ 3 }=9880 $.
b) Mỗi cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là một tổ hợp chập 2 của 24. Số cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là: $ C_{ 24 } ^{ 2 }=276 $.
Mỗi cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là một tổ hợp chập 1 của $ 16 $.
Số cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là: $ C_{ 16 } ^{ 1 }=16 $.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam là: $ 276\cdot16=4416 $.
c) Cách 1:
Để ban cán sự lớp có ít nhất 1 học sinh nam thì xảy ra các trường hợp:
Trường hợp 1:
Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ có $ C_{ 24 } ^{ 1 }\cdot C_{ 16 } ^{ 2 }=24\cdot 120=2880 $ (cách chọn)
Trường hợp 2:
Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có $ C_{ 24 } ^{ 2 }\cdot C_{ 16 } ^{ 1 }=276\cdot 16=4416 $(cách chọn)
Trường hợp 3:
Chọn 3 học sinh nam có $ C_{ 24 } ^{ 3 }=2024 $ (cách chọn).
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là:
$ 2880+4416+2024=9320{ \rm{ } }. $
Cách 2:
Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $ C_{ 40 } ^{ 3 }=9880 $.
Số cách chọn 3 học sinh nữ làm ban cán sự của lớp là: $ C_{ 16 } ^{ 3 }=560 $.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: $ 9880-560=9320{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $