Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 31
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số $0;1;2;3;4$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $\overline{abcd}$ là số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số $0;1;2;3;4$.
Xét $\overline{abcd}=a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10+d$.
* Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
Nếu $d=0$ có $A_4^3$ số có chữ số hàng đơn vị là 0.
Nếu $d\in\{1;2;3;4\}$ có $3\cdot A_3^2$ số có chữ số hàng đơn vị là $1,2,3,4$.
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị là $3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)=30\cdot A_3^2$.
* Tương tự tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm là: $3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)\cdot100+3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)\cdot10=30\cdot A_3^2\cdot(100+10)$.
* Tổng các chữ số hàng nghìn:
Nếu $a\in\{1;2;3;4\}$ có $A_4^3$ số có chữ số hàng nghìn là $1,2,3,4$.
Do đó tổng các chữ số hàng nghìn là $(1+2+3+4)\cdot10^3\cdot A_4^3=A_4^3\cdot10\cdot10^3$.
Vậy tổng các số là: $A_4^3\cdot10\cdot10^3+30\cdot A_3^2(100+10+1)=259980$.
Xét $\overline{abcd}=a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10+d$.
* Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
Nếu $d=0$ có $A_4^3$ số có chữ số hàng đơn vị là 0.
Nếu $d\in\{1;2;3;4\}$ có $3\cdot A_3^2$ số có chữ số hàng đơn vị là $1,2,3,4$.
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị là $3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)=30\cdot A_3^2$.
* Tương tự tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm là: $3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)\cdot100+3\cdot A_3^2\cdot(1+2+3+4)\cdot10=30\cdot A_3^2\cdot(100+10)$.
* Tổng các chữ số hàng nghìn:
Nếu $a\in\{1;2;3;4\}$ có $A_4^3$ số có chữ số hàng nghìn là $1,2,3,4$.
Do đó tổng các chữ số hàng nghìn là $(1+2+3+4)\cdot10^3\cdot A_4^3=A_4^3\cdot10\cdot10^3$.
Vậy tổng các số là: $A_4^3\cdot10\cdot10^3+30\cdot A_3^2(100+10+1)=259980$.