Bài tự luận · Bài 12
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 12
(KNTT11) Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:
$A$: "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".
$B$: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Chứng minh rằng hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.
$A$: "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".
$B$: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Chứng minh rằng hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.
Xem lời giải
Lời giải
Ta cần chứng minh $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
- Tính $P(A)$: Ta có $\Omega=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\},n(\Omega)=6\cdot 6\cdot 6=216$.
$A=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\}$ và $a,b,c$ là các số nguyên dương phân biệt.
Mỗi bộ $(a,b,c)$ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử $\{1;2;3;4;5;6\}$.
Ta có $n(A)=A_{6}^{3}=120$.
Vậy $P(A)=\frac{120}{216}$.
- Tính $P(B)$:
Xét biến cố đối $\overline{B}$: "Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6 ". Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là một bộ ba số $(a,b,c)$ trong đó $1\leq a,b,c\leq 5$.
Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là $5\cdot 5\cdot 5=125$.
Vậy $P(\overline{B})=\frac{125}{216}$. Suy ra $P(B)=1-P(\overline{B})=\frac{91}{216}$.
- Tính $P(AB)$:
Mỗi kết quả thuận lợi cho $AB$ là một bộ ba số $(a,b,c)$ trong đó $1\leq a,b,c\leq 6$ và $a,b,c$ là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $A_{5}^{2}=20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số $\{1;2;3;4;5\}$. Theo quy tắc nhân, ta có $3\cdot 20=60$ kết quả thuận lợi.
Do đó $P(AB)=\frac{60}{216}\neq P(A)P(B)=\frac{120}{216}\cdot \frac{91}{216}$.
Vậy $A,B$ không độc lập.
- Tính $P(A)$: Ta có $\Omega=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\},n(\Omega)=6\cdot 6\cdot 6=216$.
$A=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\}$ và $a,b,c$ là các số nguyên dương phân biệt.
Mỗi bộ $(a,b,c)$ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử $\{1;2;3;4;5;6\}$.
Ta có $n(A)=A_{6}^{3}=120$.
Vậy $P(A)=\frac{120}{216}$.
- Tính $P(B)$:
Xét biến cố đối $\overline{B}$: "Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6 ". Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là một bộ ba số $(a,b,c)$ trong đó $1\leq a,b,c\leq 5$.
Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là $5\cdot 5\cdot 5=125$.
Vậy $P(\overline{B})=\frac{125}{216}$. Suy ra $P(B)=1-P(\overline{B})=\frac{91}{216}$.
- Tính $P(AB)$:
Mỗi kết quả thuận lợi cho $AB$ là một bộ ba số $(a,b,c)$ trong đó $1\leq a,b,c\leq 6$ và $a,b,c$ là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $A_{5}^{2}=20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số $\{1;2;3;4;5\}$. Theo quy tắc nhân, ta có $3\cdot 20=60$ kết quả thuận lợi.
Do đó $P(AB)=\frac{60}{216}\neq P(A)P(B)=\frac{120}{216}\cdot \frac{91}{216}$.
Vậy $A,B$ không độc lập.