Bài tập nâng cao · Bài 91
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 91
Một đề thi trắc nghiệm gồm $50$ câu hỏi độc lập. Mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được $0,2$ điểm, câu trả lời sai được $0$ điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên đáp án cho $50$ câu hỏi. Biết xác suất làm đúng $k$ câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị của $k$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M$ là biến cố “Học sinh A làm đúng $k$ câu trong đề trắc nghiệm $50$ câu”, với $k\in\mathbb N$, $0\leq k\leq50$.
Số câu học sinh A làm đúng là $k$, số câu làm sai là $50-k$. Xác suất làm đúng một câu là $\dfrac14$, còn xác suất làm sai một câu là $\dfrac34$.
Xác suất để biến cố $M$ xảy ra là
$a_k=\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}$.
Ta có
$a_k\leq a_{k+1}\Leftrightarrow\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}\leq\binom{50}{k+1}\left(\dfrac14\right)^{k+1}\left(\dfrac34\right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow\dfrac{3}{4(50-k)}\leq\dfrac{1}{4(k+1)}\Leftrightarrow3(k+1)\leq50-k\Leftrightarrow k\leq\dfrac{47}{4}$.
Vì $k\in\mathbb N$ nên $k\leq11$, do đó $a_1<a_2<\cdots<a_{11}<a_{12}$.
Mặt khác,
$a_k\leq a_{k-1}\Leftrightarrow\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}\leq\binom{50}{k-1}\left(\dfrac14\right)^{k-1}\left(\dfrac34\right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{4k}\leq\dfrac{3}{4(51-k)}\Leftrightarrow3k\geq51-k\Leftrightarrow k\geq\dfrac{51}{4}$.
Vì $k\in\mathbb N$ nên $k\geq13$, do đó $a_{12}>a_{13}>a_{14}>\cdots>a_{49}>a_{50}$.
Vậy xác suất lớn nhất là $a_{12}=\binom{50}{12}\left(\dfrac14\right)^{12}\left(\dfrac34\right)^{38}$; học sinh làm đúng $12$ câu.
Số câu học sinh A làm đúng là $k$, số câu làm sai là $50-k$. Xác suất làm đúng một câu là $\dfrac14$, còn xác suất làm sai một câu là $\dfrac34$.
Xác suất để biến cố $M$ xảy ra là
$a_k=\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}$.
Ta có
$a_k\leq a_{k+1}\Leftrightarrow\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}\leq\binom{50}{k+1}\left(\dfrac14\right)^{k+1}\left(\dfrac34\right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow\dfrac{3}{4(50-k)}\leq\dfrac{1}{4(k+1)}\Leftrightarrow3(k+1)\leq50-k\Leftrightarrow k\leq\dfrac{47}{4}$.
Vì $k\in\mathbb N$ nên $k\leq11$, do đó $a_1<a_2<\cdots<a_{11}<a_{12}$.
Mặt khác,
$a_k\leq a_{k-1}\Leftrightarrow\binom{50}{k}\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{50-k}\leq\binom{50}{k-1}\left(\dfrac14\right)^{k-1}\left(\dfrac34\right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow\dfrac{1}{4k}\leq\dfrac{3}{4(51-k)}\Leftrightarrow3k\geq51-k\Leftrightarrow k\geq\dfrac{51}{4}$.
Vì $k\in\mathbb N$ nên $k\geq13$, do đó $a_{12}>a_{13}>a_{14}>\cdots>a_{49}>a_{50}$.
Vậy xác suất lớn nhất là $a_{12}=\binom{50}{12}\left(\dfrac14\right)^{12}\left(\dfrac34\right)^{38}$; học sinh làm đúng $12$ câu.