Bài tập nâng cao · Bài 66
DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MB}\right|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}\right|=k\left|\overrightarrow{AB}\right|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}\right|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B \neq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$.
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 66
Xem lời giải
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'B}$,
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'C}$.
Vì $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow0$ và $\overrightarrow{O'B}+\overrightarrow{O'C}=\overrightarrow0$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OO'}$.
Mặt khác, do $O,I$ lần lượt là trung điểm của $AD,MN$, ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{OI}$. Vì vậy
$\overrightarrow{OI}=\frac12k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})=k\overrightarrow{OO'}$.
Khi $k$ thay đổi trong $\mathbb R$, tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $OO'$.