Bài tập nâng cao · Bài 65
DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MB}\right|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}\right|=k\left|\overrightarrow{AB}\right|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}\right|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B \neq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$.
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 65
Xem lời giải
Lời giải
$3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}$
$=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=t\vec{u}+t\vec{v}+t\vec{w}$
$=t\left(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right)$.
Đặt $\vec{\alpha}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ thì véc-tơ $\vec{\alpha}$ xác định và $\overrightarrow{GG'}=\frac{1}{3}t\vec{\alpha}$.
Suy ra nếu $\vec{\alpha}=\overrightarrow{0}$ thì các điểm $G'$ trùng với điểm $G$, còn nếu $\vec{\alpha} \neq \overrightarrow{0}$ thì quỹ tích các điểm $G'$ là đường thẳng đi qua $G$ và song song với giá của véc-tơ $\vec{\alpha}$.