Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.
c) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$.

Question

DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}ight|=\left|\overrightarrow{MB}ight|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}ight|=k\left|\overrightarrow{AB}ight|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}ight|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B 
eq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$. Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau: a) $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$. b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. c) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}ight|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}ight|$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow B \equiv A$, trái với giả thiết. Vậy không có điểm $M$ thoả mãn. b) Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow M$ là trọng tâm tam giác $ABC$. c) Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$, ta được: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$; $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$. Nên $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow \left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{MJ}\right| \Leftrightarrow MI=MJ$. Như vậy $M$ cách đều 2 điểm cố định $I, J$ nên tập hợp các điểm $M$ thoả điều kiện đề bài là đường trung trực của $IJ$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 64