Cho $ riangle ABC$. Tập hợp điểm $M$ trong các trường hợp sau: a) $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} ight|=\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} ight|$. b) $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} ight|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} ight|$.

Question

DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}ight|=\left|\overrightarrow{MB}ight|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}ight|=k\left|\overrightarrow{AB}ight|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}ight|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B 
eq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$. Cho $	riangle ABC$. Tập hợp điểm $M$ trong các trường hợp sau: a) $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}ight|=\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}ight|$. b) $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}ight|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}ight|$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Gọi $K$ là điểm thoả $2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$, $L$ là điểm thoả mãn $3\overrightarrow{LB}+2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MK}$ và $3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{ML}$. Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow \left|\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{ML}\right|$. Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $KL$. b) Với $I$ là trung điểm $BC$. Gọi $J$ là điểm thoả $4\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Ta có: $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MI}\right|$ $\Leftrightarrow \left|6\overrightarrow{MJ}\right|=\left|2\overrightarrow{IA}\right| \Leftrightarrow MJ=\frac{1}{3}IA$. Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $J$ bán kính $R=\frac{1}{3}IA$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 63